Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD và ĐT Sông Lô (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD và ĐT Sông Lô (Có đáp án)

1. PHÒNG GD-ĐT SÔNG LÔ KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 01 trang Ngày thi : 06/11/2019 2x 9 x 3 2 x 1 Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: P x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm các giá trị của x để P 0 . Câu 2 (2 điểm) Cho biết x 2019 x22 y 2019 y 2019 . Tính giá trị biểu thức A x2019 y 2019 . 11 Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình: x x x 2. 24 Câu 4 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên xy; thỏa mãn: x 2019 2 y y 1 y 2 y 3 . Câu 5 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1 p p234 p p là số tự nhiên. Câu 6 (2 điểm) Các cạnh abc,, của tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức: 1 1 1 1 abc với p . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? p p a p b p c 2 Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương thỏa mãn abc 3. 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P . a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 Câu 8 (4 điểm) Qua điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại A và B (A nằm giữa K và B, AB < 2R). Gọi d là đường trung trực của KB, H là hình chiếu của O trên d. Gọi I là trung điểm của OK, N là trung điểm của AB, M là giao điểm của d và KB. a) Chứng minh tứ giác OHMN là hình chữ nhật và AK = 2OH. b) Tính IH theo R. Câu 9 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của AC . Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại D . Chứng minh DB 2D C . Câu 10 (1 điểm) Trên đường tròn cho 6 điểm phân biệt. Hai điểm bất kì trong điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu. === HẾT === Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh SBD: Phòng thi
2. PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2019 – 2020 Môn Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu Hướng dẫn chấm Điểm Điều kiện để P xác định là : x 0; x 4; x 9 . 2x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 0,25 P xx 32 x x 21 xx 12 x 1 0,25 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 0,5 x 1 Với , ta có P 0 0 x 3 0 x 9 x 3 0,5 Kết luận: 09 x và x 4 thì P 0 0,5 Ta có: x 2019 x2 2019 x 2 x y 2019 y 2 2019 2019 x 2 x 0,5 y 2019 y22 2019 x x (1) 0,5 2 Tương tự ta có: x 2019 x22 2019 y y (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra x y 0 x y A 0 0,5 1 ĐKXĐ x 4 0,5 2 1 1 1 1 2 x x x 22 x 3 2 4 4 2 0,5 11 11 x 20 (vì x 20 ) 42 42 0,5 x 22 (tmđk) 0,5 Phương trình đã cho tương đương x 2019 2 y22 3 y y 3 y 2 Đặtt y2 3 y Khi đó pt trở thành: x 2019 22 t t 2 x 2019 t2 2 t + Nếu t 0 ta có t2 t 2 2 t t 2 2 t 1 t 2 t 2 2 t t 1 2 0,5 t2 x 2019 22 t 1 ( vô lí) 4 2 + Nếu t 0 ta có y 3 y 0 y y 3 0 3 y 0 0,5 Vì yZ nên y 3; 2; 1;0 0,5 Suy ra xy; 2019;0 , 2019; 1 , 2019; 2 2019; 3  0,5 Theo bài ra ta có 1 p p2 p 3 p 4 n 2 n N * 5 4 4p 4 p2 4 p 3 4 p 4 4 n 2 (1) 0,5
3. 22 Suy ra: 2p22 p 2 n 2 2 p p 2 0,5 2 2 2 2p p 2 n 2 p p 2 2 n 2 p p 1 2 Theo (1) ta có 4 4p 4 p234 4 p 4 p 2 p p 1 0,5 p2 2 p 3 0 p 3 ( do p là số nguyên tố p 0) Thử lại với p 3 ta có 1 p p2 p 3 p 4 1 3 3 2 3 3 3 4 11 (tm) 0,5 Vậy 0,5 1 1 1 1 p p c p a p b p c p p b p a p p c p a p b 2p c a b 0,5 p p c p a p b 6 a b a b abcabc bcaacb a b a b 2a 1 0,5 22 22 4abb 2 a b c c a b 22babab 2 2 abc 2 cba 2 2 2 0,5 Suy ra tam giác ABC vuông tại A 1 1 1 1 1 1 9 27 Ta có: a2 b 2 c 2 abbccaa bcabc ab bc ca 2 27 1 P (1) 2 2 2 2 ab bc ca abc 0,5 Áp dụng AM-GM ta 2 2 2 3 2 2 2 2 a b c 2a b 2 bc 2 ca có a b c ab bc ca 27 3 0,5 7 27 2 2 2 abc (2) ab bc ca 2 11 0,5 Từ (1) và (2) suy ra P a2 b 2 c 2 t với t a2 b 2 c 2 3 a2 b 2 c 2 t tt1 8 2 8 10 Khi đó P 9t 9 3 3 3 10 0,5 Dấu “=” khi t 31 a b c . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi và 3 chỉ khi abc 1 8a
4. B N M A C K O I H d 0,5 Chứng minh OHMN là hình chữ nhật, 0,5 KB AB KA OH = MN=MB-NB= KHA 2O 2 2 2 KA 0,5 Gọi C là trung điểm của KA ta có KC . Do đó OH =KC 2 HOI= CKI( c-g-c) Suy ra IH = IC (1) OA R 8b Do IC là đường trung bình OKA nên IC 22 0,5 R Từ (1) và (2) Suy ra IH 2 A M H B D C K 9 Kẻ CK vuông góc AD, KA D. Gọi H là giao điểm AD với BM DC CK 0,5 Vì BH//CK nên (1) DB BH DC CK2 HM Mặt khác (2) DB BH BH Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao ta có: 2 AM2 HM.1 BM HM AM 0,5 2 ,thay vào (2) ta được DB 2D C AB BH.4 BM BH AB
5. Giả sử 6 điểm A, B, C, D, M, N trên cùng 1 đường tròn. Từ 1 điểm vẽ đến 5 điểm còn lại được 5 đoạn thẳng thì có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu. Giả sử 3 đoạn thẳng AB, AC, AD cùng màu đỏ( nếu cùng màu xanh thì 10 0,5 lập luận tương tự). Xét tam giác BCD nếu có 1 cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ thì tam giác ABC có 3 0,5 cạnh màu đỏ. Trái lại thì tam giác ABC có ba cạnh màu xanh.