Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 01 trang Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. x 3 Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức: Q x 1 2 a) Tìm x để Q xác định và rút gọn Q. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = Q + x. Câu 2. (2,0 điểm) Cho x 6 4cos 450 3 2 2 3 18 16sin 45 0 tan 60 0 . Tính giá trị biểu thức: T 20 x1982 11 x 11 2020 . m 1 Câu 3. (2,0 điểm) Tìm các giá trị của m để nghiệm của phương trình 1 m (với m là x 1 tham số) là số dương. Câu 4. (2,0 điểm) Giải phương trình: 2 2x 1 x 3 5 x 11 0 . Câu 5. (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để A là số nguyên tố, biết A n3 n 2 n 2 . ab Câu 6. (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn: a b . a b Câu 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, biết AB = c; BC = a; CA = b. Vẽ phân giác AD (D thuộc 2bc BC). Chứng minh rằng: AD . b c Câu 8. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, C (α < 450). a) Tìm giá trị của α để CH = 3BH. b) Chứng minh rằng: sin2 2sin cos . Câu 9. (1,5 điểm) Cho các số thực x, y, z thay đổi sao cho 3x y z 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 5 x2 3 yz 2 2 2 xy 2 yz 6 x 6 y 14. Câu 10. (1,5 điểm) Cho năm số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: , SBD: , Phòng thi:
2. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM I. LƯU Ý CHUNG: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của thí sinh. Khi chấm nếu thí sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Thí sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Trong lời giải câu 7,8 nếu thí sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm x 1 0 x 1 x 1 Q xác định 0.5 x 1 2 0 x 1 2 x 3 x 3 Với x ≥1; x ≠ 3 ta có. Q 0.25 x 1 2 x 3 x 1 2 0.25 a) x 1 2 x 1 2 x 3 x 1 2 2 2 0.25 Câu 1 x 1 2 (3,0 điểm) x 3 x 1 2 0.25 x 1 2 x 1 2 0.25 Với x ≥1; x ≠ 3 thì Q x 1 2 0.25 Với x ≥1; x ≠ 3, ta có PQxx x 1 2 Vì x ≥1; x ≠ 3 x 1 0 0.25 b) nên Px x 1 2 1 2 0.25 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 0.25 Vậy Pmin 1 2 x 1 0.25 x 6 4cos 450 3 2 2 3 18 16sin 45 0 tan 60 0 Câu 2 (2,0 Ta có điểm) 2 2 6 4 3 2 2 3 18 16 3 2 2
3. 6223 223 1882 3 0.25 2 6 2 2 3 2 2 3 4 2 3 0.25 2 6 2 2 3 4 2 3 3 6 2 2 3 3 1 3 0.25 6222 3 3 62423 3 0.25 2 0.25 6 2 3 1 3 4 2 3 3 2 3 1 3 1 0.25 Thay x = 1 vào T, ta được T = 20.11982 + 11.111 + 2020 = 2051 0.25 Vậy T = 2051 0.25 ĐKXĐ: . 0.25 Đưa phương trình về dạng (1-m)x=2 0.25 Nếu m=1 thì phương trình vô nghiệm 0.25 2 Nếu thì x 1 m 0.25 2 Câu 3 Để x là nghiệm của phương trình thì x 1 m 1 0.25 (2,0 1 m 2 điểm) Vậy nghiệm của phương trình là x với m 1 1 m 0.25 m 1 m 1 m 1 Phương trình có nghiệm dương khi 2 0 m 1 m 1 0.25 1 m Vậy với m 1; m 1 thì phương trình có nghiệm dương 0.25 Giải phương trình 2 2x 1 x 3 5 x 11 0 . 1 ĐKXĐ: x 0.25 2 0.25 Câu 4 2 2x 1 x 3 5 x 11 0 (2,0 2 2x 1 x 3 5 x 11 0.25 điểm) 9x 1 4 2 xx2 5 3 5 x 11 0.25 2 0.25 2xx 5 3 3 x x 3 0.25 2 2 2xx 5 3 9 6 xx
4. x 3 x 1 0.25 2 x 12 x 11 x 12 0 Đối chiếu điều kiện ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình 0.25 Ta có, A n3 n 2 n 2 n32 n 2 n 2 2 n n 2 0.25 n2 n2 n 1 0.25 Câu 5 2 (1,5 Do n 2 n n 1, với n N 0.25 điểm) Vậy A là số nguyên tố khi và chỉ khi n 2 1 và n2 n 1 là số nguyên tố 0.25 n 3 và khi đó A 13 (thỏa mãn) 0.25 Vậy n = 3, thì A là số nguyên tố 0.25 ab 3 3 2 Ta có, với ab, N * thì a b a b ab a b ab , nên a b 0.25 a + b là số chính phương. Câu 6 Vì 1 a b 18nên a b 1;4;9;16 0.25 (1,5 + Với a + b = 1 ta có ab 1 (loại) 0.25 điểm) + Với a + b = 4 ta có ab 8 (loại) 0.25 + Với a + b = 9 ta có ab 27 (thỏa mãn) 0.25 + Với a + b = 16 ta có ab 64 (loại) 0.25 Vậy số tự nhiên cần tìm là 27 A E B D C Qua D kẻ DE song song với AB, E ∈ AC. 0.25 Chứng minh được ∆EAD cân tại E. Suy ra AE =ED. 0.25 ED EC Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét vào ∆ABC ta có: 0.25 Câu 7 AB AC (2,0 AE ED EC AE Suy ra: 1 0.25 điểm) AC AB AC CA 11 bc hay AE( ) 1 AE 0.25 bc bc Trong tam giác ADE có AD < AE + ED 0.25 AD 2AE (đpcm) 0.25 2bc AD 0.25 b c Câu 8 a A (3,0
5. điểm) 2α α B H M C Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có BH = AH.cotB = AH.tanα 0.25 Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có CH = AH.cotα 0.25 CH 3 BH AH .cot 3 AH .tan 0.25 1 3tan 0.25 tan 1 3 tan2 0.25 3 3 300 , Vậy 300 thì CH = 3BH 0.25 b Kẻ trung tuyến AM 0.25 Vì C = α < 450 nên C < B AB < AC H nằm giữa B và M theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ta 1 có, AM MB MC BC , suy ra tam giác AMC cân tại 0.25 2 M AMB  2 C 2 AB AC Tam giác ABC vuông tại A, ta có sin ; cos 0.25 BC BC AH Tam giác AHM vuông tại H, ta có sin 2 (1) 0.25 AM ABAC AHBC. AH AH Ta có 2sin cos 2. . 2. 2. (2) 0.25 BCBC BC2 2 AM AM Từ (1) và (2) suy ra sin2α = 2sinαcosα. 0.25 Ta có M 4 x2 4 xyyy 2 2 2 yzzxy 2 2 2 9 2 xyxy 6 6 5 0.25 (2xy )2 ( yzxy ) 2 2 2 3 2 2 xy 2.3 x 2.3. y 5 2 (2xy )(2 y+z )( 2 xy 3) 2 2xyyzxy 3 5 5 1 1 1 1 1 1 0.25 (3x y z 3)2 5 3 Câu 9 Theo giả thiết, ta có 2 0.25 (1,5 3xyz 12 3 xyz 3 9 (3 xyz 3) 81. điểm) Suy ra M 32. 2xy yz Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : yz xy 3 0.25 3x y z 3 9 2xyz 2 0 x 3 xz3 y 3. 0.25 3xyz 12 z 0 Vậy Mmin 32 xyz 3, 0. 0.25
6. Gợi các số đã cho là a1,,,,. a 2 a 3 a 4 a 5 vì các số này không có ước số nguyên tố xi y i 0.25 nào khác 2 và 3 nên các số này đều có dạng ai 2 3 với xi, yi là các số tự nhiên. Xét 5 cặp số xy1;;;;;;;;; 1 xy 2 2 xy 3 3 xy 4 4 xy 5 5 mỗi cặp số này nhận giá trị Câu một trong bốn trường hợp sau: (số chắn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số 0.25 10 chẵn), (số lẻ; số lẻ) (1,5 Nên theo nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất 2 cặp số trên nhận cùng một dạng 0.25 điểm) giá trị. Không mất tính tổng quát khi giả sử xy; ; xy ; cùng nhận giá trị dạng (số 1 1 2 2 0.25 chẵn; số lẻ). Khi đó x1 xy 2; 1 y 2 đều là số chẵn nên 0.25 a a 2xyxy1 .3 1 .2 2 .3 2 2 xxyy 1 2 .3 1 2 là số chính phương. Do đó ta có điều phải 1 2 0.25 chứng minh Hết