Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,0 điểm). 1 2x x x 1 a) Cho biểu thức P : . Rút gọn biểu thức P. x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 51 b) Cho biểu thức Q x4 2 x 3 x 2 2023 . Tính giá trị của biểu thức Q với x . 51 Câu 2. (2,0 điểm). Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn a2 b 2 c 2 abc 4. Chứng minh a. 4 b2 4 cb 2 . 4 c 2 4 ac 2 . 4 a 2 4 b 2 8 abc . Câu 3. (2,0 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn n4 2 n 3 2 n 2 2 n 1 là số chính phương. 22 x 2 x 6 3 x 6 Câu 4. (2,0 điểm). Giải phương trình: 2 . x 6 x 9 x 9 Câu 5. (2,0 điểm). Chia đa thức p x x2024 x 2023 x 2022 x 1 cho đa thức q x x2 1 ta được thương là đa thức hx và phần dư là đa thức rx . Tính h 1 . Câu 6. (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC có đường cao AH H BC . Trên tia HC lấy điểm D thỏa mãn HD HA . Đường thẳng qua D song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC và tính độ dài BC khi AE 6 cm , EC 2 cm . Câu 7. (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD, điểm N thuộc cạnh CD thỏa mãn NC 2 ND . Gọi H là giao điểm của AN với BD và M là trung điểm BC. Chứng minh tam giác AHM vuông cân. Câu 8. (2,0 điểm). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai của một ngôi nhà được thiết kế liên tục một nhịp với 21 bậc, mỗi bậc có chiều cao và chiều rộng mặt bậc bằng nhau (Ảnh bên). Biết chiều cao từ mặt sàn tầng một đến mặt sàn tầng hai là 3,57m và chiều rộng của mỗi mặt bậc là 25cm. Hỏi vị trí bắt đầu xây cầu thang ở mặt sàn tầng một cách ví trí chân tường xây chắn tại cuối cầu thang bao nhiêu mét và cầu thang dài bao nhiêu mét? Câu 9. (2,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương và thỏa mãn abc 1. Tìm giá trị nhỏ a b c nhất của biểu thức: T . a2 8 bc b 2 8 ca c 2 8 ab HẾT Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023-2024 MÔN: TOÁN Câu 1.a (2,0 điểm) 1 2x x x 1 Cho biểu thức P : . Rút gọn biểu thức P. x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 Nội dung Điểm Điều kiện xx 0, 1 0,5 0,5 1 2x xx 1 1 Ta có P : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 0,5 x 1 2 x x 1 x 1 x 1 :: x 1 x 1 xx 11 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5 . x 1 xx 11 Câu 1.b (2,0 điểm). Cho biểu thức Q x4 2 x 3 x 2 2023. Tính giá trị của biểu thức Q với 51 x . 51 Nội dung Điểm 2 0,5 5 1 51 5 1 Ta có x 51 5 1 5 1 2 51 2 0,5 x 2 x 1 5 2 x 1 5 x2 x 1 0 1 2 4 3 2 22 2 2 0,5 Q x2 x x 2023 x x 1 2024 x x 1 x x 1 2024 2 Từ (1) và (2) ta được Q 2024 0,5 Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn a2 b 2 c 2 abc 4. Chứng minh ab 4 2 4 cbc 2 4 2 4 ac 2 4 a 2 4 b 2 8 abc . Nội dung Điểm Ta có 0,5 a 4 b2 4 ca 2 16 4 bcbca 2 2 2 2 16 4 4 aabcbc 2 2 2 a4 a2 4 abc b 2 c 2 a 2 a bc 2 a 2 a bc 2 a 2 abc Tương tự b 4 c2 4 a 2 2 babcc 2 ; 4 a 2 4 b 2 2 cabc 2 0,5 a 4 b2 4 cb 2 4 c 2 4 ac 2 4 a 2 4 b 2 2 abcabc 2 2 2 3 0,5 28 a2 b 2 c 2 abc abc abc 0,5
3. Câu 3. (2,0 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn n4 2 n 3 2 n 2 2 n 1là số chính phương. Nội dung Điểm Ta có 0,5 2 nnnn4 2 3 2 2 2 1 nnnnn 4 2 3 2 2 2 1 nnn 2 1 2 222 2 2 n n 1 n 1 n 1 n 1 * Nếu nn 1 0 1 thì n4 2 n 3 2 n 2 2 n 1 0 là số chính phương. 0,5 * Nếu nn 1 0 1thì là số chính phương khi n22 1, m m m n mn 1 0,5 m22 n 1 m n m n 1.1 m ; n 1;0 mn 1 KL n 0;1 0,5 22 x 2 x 6 3 x 6 Câu 4. (2,0 điểm). Giải phương trình: 2 . x 6 x 9 x 9 Nội dung Điểm ĐK xx 6, 9 0,5 2 2 2 2 x 2 x 6 3 x 6 x 2 x 6 x 2 2 2 3 x 6 x 9 x 9 x 6 x 9 x 9 x 2 x 6 x 2 0,5 Đặt a , b ab x 6 x 9 x 9 22 ab Phương trình có dạng 2a b 3 ab a b 2 a b 0 2ab xx 26 0,5 * a b x 18 0 x 18 thỏa mãn. xx 69 2xx 4 6 2 x 0 0, 5 * 2a b x 10 x 0 thỏa mãn. xx 69 x 10 Kết luận Câu 5. (2,0 điểm). Chia đa thức p x x2024 x 2023 x 2022 x 1 cho đa thức q x x2 1 ta được thương là đa thức hx và phần dư là đa thức rx . Tính h 1 . Nội dung Điểm Dễ thấy r x ax b và 0,5 pxqxhxrx . x2024 x 2023 x 2022 x 1 x 2 1 . hxaxb 1 Thay lần lượt các giá trị xx 1, 1vào hai vế của (1) ta được 0,5 ab 2025 ab; 1012;1013 ab 1 x2024 x 2023 x 2022 x 1 x 2 1 . h x 1012 x 1013 1 x2024 x 2023 x 2022 x 2021 x 2 x 1 1012 x 1013 x 2 1 . h x 0,5 xxxx2023 1 2021 1 xx 1 1012 x 1 xxhx 1 1 x2023 x 2021 x 2019 x 1012 x 1 h x 2 x 1 Cho x 1vào hai vế của (2) ta được 2024 2.hh 1 1 1012 0,5
4. Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC có đường cao AH H BC . Trên tia HC lấy điểm D thỏa mãn HD HA . Đường thẳng qua D song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC và tính độ dài BC khi AE 6 cm , EC 2 cm . A E C B H D Nội dung Điểm CD CA 0,5 Ta có hai tam giác vuông CDE CAB CE CB Xét ADC và BEC 0,5 CD CE , CA CB C - chung ADC BEC (c-g-c) Do tam giác AHD cân đỉnh H ADC 1800 HDA 180 0 45 0 135 0 0,5 ADC BEC BEC ADC 13500 BEA 45 nên tam giác ABE vuông cân đỉnh A AB AE 6 cm AC AE EC 6 2 8 cm 0,25 Do ABC vuông tại A ta có: BC2 AB 2 AC 2 BC AB22 BC 10 cm 0,25 Câu 7. (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm N thuộc cạnh CD thỏa mãn NC 2 ND . Gọi H là giao điểm của AN với BD và M là trung điểm BC. Chứng minh tam giác AHM vuông cân. A D H N B M C I Nội dung Điểm Gọi I là giao điểm của AN với BC từ sự đồng dạng của các cặp tam giác HND HAB; ICN IBAta có so sanh sau: 1 1 1 2 1 3 HN HA AN IA IH IN HN IA IA IA 1 3 4 12 3 12 4 0,25
5. 1 1 2 1 5 MC BC IB IM IC CM IB IB IB 2 2 6 3 6 6 0,25 Ta có 0,5 2  32 3 2 2 3 1 2 5 2 IH. IA IA AB IB IB IB IB 4 4 4 3 6  IH. IA IM . IB 3 5 2 IM. IB IB 6  IM IA 0,5 3 IHM IBA IHM IBA 900 4 IH IB IH IM 0,5 Mặt khác 3 IHB IMA IAM IBH 450 5 IB IA Từ (4),(5) ta được điều phải chứng minh Câu 8 (2,0 điểm). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai của một ngôi nhà được thiết kế liên tục một nhịp với 21 bậc, mỗi bậc có chiều cao và chiều rộng mặt bậc bằng nhau. Biết chiều cao từ mặt sàn tầng một đến mặt sàn tầng hai là 3,57m và chiều rộng của mỗi mặt bậc là 25cm. Hỏi vị trí bắt đầu xây cầu thang ở mặt sàn tầng một cách ví trí chân tường xây chắn tại cuối cầu thang bao nhiêu mét và cầu thang dài bao nhiêu mét F B E H A (Hình vẽ mặt cắt minh họa cho cầu thang có 8 bậc) Nội dung Điểm Cầu thang có 21 bậc từ tầng một lên tầng hai thì số mặt bậc không phải mặt sàn nhà 0,5 là 20 mặt. Nên ví trí xây cách vị trí chân tường chắn cuối cầu thang là 20.0,25 5 m Do chiều cao từ mặt sàn tầng một đến mặt sàn tầng hai bằng tổng chiều cao 21 bậc 0,5 nên chiều cao một bậc là 3,57: 21 0,17 m 914 0,5 Áp dụng định lí Pitago ta có chiều dài một bậc là 0,1722 0,25 m 100 914 914 0,5 Vậy chiều dài cầu thang là 20 6,05 m 100 5 Câu 9 (2,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương và thỏa mãn abc 1. Tìm giá trị nhỏ a b c nhất của biểu thức: T . a2 8 bc b 2 8 ca c 2 8 ab
6. Nội dung Điểm Với các số abc,, dương. a b c Ta có T a2 8 bc b 2 8 ca c 2 8 ab 0,5 a2 b 2 c 2() a b c 2 T 3 a 8 abc b3 8 abc c 3 8 abc a 3 b 3 c 3 24 abc Ta lại có (a b c )3 a 3 b 3 c 3 3( a b c )( ab bc ca ) 3 abc 0,5 a3 b 3 c 3 273 abc .3 ( abc ) 2 3 abc a 3 b 3 c 3 24 abc Suy ra a3 b 3 c 3 24 abc ( a b c ) 3 (a b c )22 ( a b c ) 1 1 abc3 3 3 24 abc ( abc ) 3 abc 0,5 Do đó T 1 1 Dấu “=” xảy ra khi abc 3 1 0,5 Vậy MinT 1, khi abc 3 HẾT