Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Nam Đàn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Nam Đàn (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 HUYỆN NAM ĐÀN NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (5,0 điểm): 1. Tính A = 7 + 4 3 4 2 3 2. Cho biểu th�ức A = � + (Với 0; 4) √ 2−+5 𝑥𝑥 − 2 √𝑥𝑥 𝑥𝑥+1 a) Rút gọn biểu thức A.√ √ √ 4−𝑥𝑥 √𝑥𝑥+2 − 2−√𝑥𝑥 𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥 ≠ b) Tìm các số hữu tỷ x để A có giá trị nguyên. Câu 2: (4,0 điểm ) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 + 8 5 + 3 = 0 b) Cho 2 số tự nhiên y > thỏa mãn (2 12) = 2(2 )(6 + ) 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 Chứng minh 2y – x là số chính phương. 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 c) Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn + + = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của + biểu thức: M = 2 2 2 𝑦𝑦 +𝑥𝑥+1 𝑧𝑧 −𝑦𝑦+1 𝑥𝑥 +𝑧𝑧+1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 2 2 2 Câu 3: (4,0 điểm)1+ Gi𝑦𝑦 ải− các1 +phương𝑧𝑧 trình1+𝑥𝑥 sau: a) 1 4 + 4 = 5 b) + =21 √9 − 𝑥𝑥2𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 2 Câu 4: (6𝑥𝑥,0 đi√ể2m)𝑥𝑥 + 9 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh AM.AB = AN.AC b) Biết AH = h;  = . Tính độ dài MN theo h và . . c) Trong trường hợp  = 90 , chứng minh = . ∝ 0 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 ∝𝑀𝑀𝑀𝑀 Câu 5: (1,0 điểm) 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐵𝐵𝐵𝐵 Cho 2023 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2023 hoặc có một số số mà tổng của các số ấy chia hết cho 2023. Hết Họ và tên: Số báo danh:
2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Biểu Câu Ý Nội dung điểm Câu 1(5,0điểm): 1. Tính A = + 2. Cho biểu thức = + Với ; �𝟕𝟕 𝟒𝟒 𝟑𝟑 − �𝟒𝟒 − 𝟐𝟐 𝟑𝟑 √ 2+5√𝑥𝑥 2√√𝑥𝑥 √𝑥𝑥+1 a) Rút gọn biểu thức A. 𝑨𝑨 4−𝑥𝑥 √𝑥𝑥+2 − 2−√𝑥𝑥 𝒙𝒙 ≥ 𝟎𝟎 𝒙𝒙 ≠ 𝟒𝟒 b)Tìm các số hữu tỷ x để A có giá trị nguyên. 1 A = 7 + 4 3 4 2 3 = 2 + 3 - 3 +1 = 3 2,0đ 2,0 � √ − � − √ √ √ 2a = + = 2,0đ 2+5√𝑥𝑥 2√𝑥𝑥 √𝑥𝑥+1 3√𝑥𝑥 2,0 𝐴𝐴 4−𝑥𝑥 √𝑥𝑥+2 − 2−√𝑥𝑥 √𝑥𝑥+2 1 Với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ, ta có: 5,0đ A = => A +2A = 3 => (2 – A) =A +1 2b 3√𝑥𝑥 0,5 => √𝑥𝑥 =+ 2 √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 1,0đ 2𝐴𝐴  0 thỏa mãn ( 𝟐𝟐) = 𝟐𝟐( )( + ) 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 𝒙𝒙𝒙𝒙 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟎𝟎 Chứng minh 2y – x là số chính phương. 𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒙𝒙 c) Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của + biểu thức: M = 2 2 2 𝑦𝑦 +𝑥𝑥+1 𝑧𝑧 −𝑦𝑦+1 𝑥𝑥 +𝑧𝑧+𝒙𝒙1 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝟑𝟑 2 2 2 2 1+𝑦𝑦 −+1+𝑧𝑧 8 1+𝑥𝑥5 + 3 = 0 1,0 a Phân2 tích2 được (x + y – 1) (2x – y – 6) = 3 0,5 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 1,5đ Giải ra được: (x;y) {(1; 1); (1; 3)} ∈ − − (2 1) = (2 )(6 + ) 2 Vì 2y – 1 2là số chính phương lẻ => x là số lẻ. 5,0đ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 Gọi d = (2y – x)( 6y + x) với d N; d lẻ. b 2 2 + 6 + 8 1,5đ  => => 6 + 3(2 ∈) (6 + ) 4 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 ⋮ 𝑑𝑑 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ⋮ 𝑑𝑑 𝑦𝑦 ⋮ 𝑑𝑑 1,0  � � � 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ⋮ 𝑑𝑑 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ⋮ 𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 ⋮ 𝑑𝑑 𝑦𝑦 ⋮ 𝑑𝑑 Mặ�t khác từ giả thiết => (2 1) => 2y -1 𝑥𝑥 ⋮ 𝑑𝑑 2 2 𝑦𝑦 − ⋮ 𝑑𝑑 ⋮ 𝑑𝑑
3. Mà y => 1 => d = 1. Do đó 2y –x là số chính phương. 0,5 ⋮ 𝑑𝑑 ⋮ 𝑑𝑑 M = + = + + + 1 2 2 2 𝑦𝑦 +𝑥𝑥+1 𝑧𝑧 −𝑦𝑦+1 𝑥𝑥 +𝑧𝑧+1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 2 2 2 2 2 2 1+𝑦𝑦 +− 1+𝑧𝑧 1+𝑥𝑥 1+𝑦𝑦 1+𝑧𝑧 1+𝑥𝑥 Ta có: 2 = x => = x - 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 2 2 2 1+𝑦𝑦 1+𝑦𝑦 1+𝑦𝑦 1+𝑦𝑦 Tương tự: = y - 2 ; = z - 2 𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑥𝑥 2 2 2 2 M = (x + y1 ++ 𝑧𝑧z) –( 1+𝑧𝑧 + 1+ +𝑥𝑥 ) +1 +1𝑥𝑥 2 2 2 c 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑥𝑥 2 2 2 1,0 = 4 - ( + 1++ 𝑦𝑦 )1 +𝑧𝑧 1+𝑥𝑥 2 2 2 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑥𝑥 2 2 2 Mà 1+ 𝑦𝑦 1+ 𝑧𝑧= .1 + 𝑥𝑥Tương tự ; 2 2 2 2 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑧𝑧 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑧𝑧𝑥𝑥 𝑧𝑧𝑧𝑧  2 + + ) 2 2 1 +M𝑦𝑦 ≤ 4 2–𝑦𝑦 ( 2 1+𝑧𝑧 ≤ 2 1+𝑥𝑥 ≤ 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 Mặt khác ta lại có ( + + ) 3( + + ) ≥ 2 2 2  (xy +yz + zx) 3 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 ≥ 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑧𝑧𝑧𝑧  M 4 = . Dấu “=” xảy ra  x = y = z =1. 1,0 3 ≤5 Câu 3 (4,0 điểm) Giải các≥ phương− 2 2trình sau: a) + = + =𝟐𝟐 b) √𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟒𝟒𝒙𝒙 𝟓𝟓 − 𝒙𝒙 𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒙𝒙 �𝟐𝟐𝒙𝒙 +𝟗𝟗1 𝟏𝟏4 + 4 = 5 (ĐKXĐ: R)  |1-2x|2 = 5-x (1) √ − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 a TH1: x => x = - 4 2,0đ 1 1,0 TH2: ≤ 2 5 => x = 2. 1 Vậy x = -4; 2 1,0 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ + = 1 (1) (ĐKXĐ: x 0) 9 2𝑥𝑥 (1)2  9.2 2 + 9+ 2 = . 2 + 9 3 𝑥𝑥 √2𝑥𝑥 +9 ≠ Đặt 2 + 92 = a 3 2 2 4,0 đ √ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 √ 𝑥𝑥 1,0  9a + 22 = .a √ 𝑥𝑥 b  9a + x( 3 – 9)2 = a 2,0đ  (a – x)(9𝑥𝑥 2 + ax)𝑥𝑥 = 0 =>2 a = x hoặc ax = -9. 𝑎𝑎 𝑥𝑥 TH1: a = x => 2 + 9 = x => phương trình vô nghiệm. 2 TH2: ax = -9 =>√ x.𝑥𝑥 2 + 9 = -9 . Giải ra được x = 2 −3√2 Vậy pt có nghiệm x =√ 𝑥𝑥 2 −3√2 1,0 Câu 4: (6,0 điểm) 2 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H
4. trên AB, AC. a. Chứng minh AM.AB = AN.AC b. Biết AH = h;  = . Tính độ dài MN theo h và . . c. Trong trường hợp  = , = ∝ . ∝ 𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑩𝑩𝑩𝑩 A K N M C B H a Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông => 2,0 = . = . . Do đó AM.AB = AN.AC 2,0 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 . ~ ( . . ) => = = (*)=> MN = (1) 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 Từ C kẻ CK vuông góc với AB tại K. ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑐𝑐 𝑔𝑔 𝑐𝑐 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 5 Ta có: Sin = Sin A = . 6,0 b 𝐶𝐶𝐶𝐶 Mặt khác: ~ (2 tam giác vuông có = , vì 2,0 ∝ 𝐴𝐴𝐴𝐴 cùng phụ góc B) => = => AM.CB = AH.CK (2) ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀� 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵� 𝐴𝐴𝐴𝐴 . 𝐴𝐴𝐴𝐴 2,0 Từ (1)(2) suy ra MN =𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐾𝐾 = AH. Sin A = h.Sin 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∝ Từ (*) ta có = ; = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 . . .  =𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴 =>𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 =𝐴𝐴𝐴𝐴 (3) 2 . 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 Mà tam2 giác ABC vuông2 tại A =>2 AH.BC = AB.AC và c 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑀𝑀𝑀𝑀 AMHN là hình chữ nhật. 2,0 . . Nên từ (3) suy ra = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 . = 2. 2 và 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑀𝑀𝑀𝑀 = = . .  𝐴𝐴𝐴𝐴2 =𝐴𝐴𝐴𝐴 =2 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 � . 2,0 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐴𝐴𝐴𝐴𝐻𝐻𝐻𝐻 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵
5. Câu 5.(1 điểm) Cho 2023 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng, trong số các số đó có một số chia hết cho 2023 hoặc có một số số có mà tổng của các số ấy chia hết cho 2023. Gọi 2023 số đã cho là a1; a2; .a2023. Xét dãy S1 = a1; S2 = a1 + a2; ; S2023 = a1 + a2 + + a2023 . Chia tất cả các số hạng của dãy cho 2023 ta có các trường hợp sau. TH1: Nếu có 1 số hạng nào của dãy chia hết cho 2023 thì bài toán 0,5 được chứng minh. Câu 5 TH2: Nếu không có số hạng nào của dãy chia hết cho 2023 thì vì 1,0đ có 2023 phép chia mà số dư chỉ gồm 1; 2; 3; ; 2022, do đó theo nguyên lý Dicricle có ít nhất 2 số hạng của dãy có cùng số dư khi chia cho 2023. Gọi 2 số hạng đó là Si và Sj; không mất tính tổng quát, giả sử 1 ai+1 + aj 2023. Từ đó ta có đpcm. ⋮ ⋮ Lưu ý: Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.