Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Thanh Ba (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Thanh Ba (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN THANH BA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 04 trang I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm). Chọn đáp án đúng 1 Câu 1. Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa Mxx=22 −21 ++ x + x − 3 + −+4x 16 A. 3<≤x 4. B. 3<<x 4. C. 3≤≤x 4. D. 3≤<x 4. 2x Câu 2. Cho biểu thức P=( xx ≥≠0; 9). Tổng các giá trị của x để PP2 −=20 0 là x − 3 A. 10. B. 5. C. 0. D. 20. Câu 3. Gọi Ix( 00; y) là điểm cố định mà các đường thẳng ym=( −3) x +− 12 m ( m là tham số) đi qua. Giá trị của xy00. là A. 3. B. 10. C. −10. D. 5. −1 Câu 4. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng yx= +1 bằng? 2 5 2 A. . B. 1. C. . D. 2. 2 5 mx+=−4 y 10 m Câu 5. Cho hệ phương trình  có nghiệm duy nhất ( xy; ) thỏa mãn 2x−=+ 3 ym 4. x+= my 4 Khi đó tổng các giá trị của m tìm được là A. −7. B. −8. C. 7. D. 8. Câu 6. Điều kiện của tham số m và n để Parabol (Pyx) : = 2 không có điểm chung với đường thẳng (d) : y= mx + n là A. mn2 +<4 0. B. mn2 +≥4 0. C. mn2 +<2 0. D. mn2 +≥2 0. 2 Câu 7. Gọi xx12; là hai nghiệm của phương trình xx−−=20 giá trị của biểu thức xx12− bằng A. 3. B. 3. C. 1 D. −3. Câu 8. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x2 −2 mx − 2 m −= 30 có hai nghiệm phân biệt là các số nguyên? A. 2. B. 3. C. 5. D. Vô số. Câu 9. Cho hình thoi ABCD có DAB =120 ° , M là một điểm trên cạnh AB sao cho AM=16 cm , hai đường thẳng DM và BC cắt nhau tại N. Biết độ dài đoạn thẳng CN= 25 cm , độ dài đoạn AC bằng 25 A. 20cm . B. 20 2cm . C. cm. D. 30cm . 2 Câu 10. Cho hình thang ABCD( AB CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O, đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt hai cạnh bên AD, BC lần lượt tại MN,. Biết AB=6, cm CD = 10, cm độ dài cạnh MN là A. 7.cm B. 7,5cm . C. 8.cm D. 8,5cm . Câu 11. Một lọ thuốc hình trụ được đặt khít trong một hộp giấy hình chữ nhật. Hỏi thể tích của hộp thuốc bằng bao nhiêu phần trăm thể tích của hộp giấy? (lấy π ≈ 3,14 )
2. 2 A. 62,8%. B. 94,2%. C. 86,4%. D. 78,5%. Câu 12. Bạn Trang có tầm mắt cao 1, 52m đứng gần một tòa nhà cao tầng thì thấy đỉnh của tòa nhà với góc nhìn so với phương nằm ngang là 30° . Trang đi về phía tòa nhà 50m thì nhìn thấy đỉnh của tòa nhà với góc nhìn so với phương nằm ngang là 60° . Hỏi chiều cao của tòa nhà là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). A. 43,48m . B. 43, 3m . C. 45,48m . D. 44,82m . Câu 13. Cho tam giác ABC với góc A nhọn ( A=α ),, AB = c BC = a ,. CA = b Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. a2=+− b 22 c2 bc .cosα . B. a2=++ b 22 c2 bc .cosα . C. a2=+− b 22 c bc.cosα . D. a2=++ b 22 c bc.cosα . Câu 14. Một tam giác đều cạnh a. Diện tích hình tròn nội tiếp tam giác đó bằng π a2 π a2 π a 3π a2 A. . B. . C. . D. . 12 6 3 16 Câu 15. Cho nửa đường tròn (OR; ) đường kính AB, điểm C di chuyển trên nửa đường tròn, khi đó tổng hai dây cung CA+ CB lớn nhất là bao nhiêu? A. 32.R B. 22.R C. 2.R D. 3.R Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh 80dm2 , chiều cao bằng 8.dm Để hình hộp chữ nhật so thể tích lớn nhất thì các kích thước của đáy bể là A. 3dm ;2 dm . B. 2dm ;2 dm . C. 2,5dm ;2,5 dm . D. 5dm ;5 dm . II. TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn x22+2 y − 2 xyxy + 2 − 6 += 1 0. b) Tồn tại hay không các số nguyên tố abc,, thỏa mãn điều kiện acb +=2011 Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho x và y là hai số thỏa mãn: ( xx−22 +5)( yy − += 55) . Hãy tính giá trị của biểu thức Mx=2023 + y 2023 b) Giải phương trình: 3x+− 1 6 − xx + 32 − 14 x −= 8 0. Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh: BH . BD = BC . BK và BH . BD + CH.CE= BC 2 . b) Chứng minh BH= AC .cot ABC . c) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP= MQ . Câu 4 (1,0 điểm). Cho số thực x thỏa mãn 02<<x . Tìm GTNN của biểu thức: 4 100 A = ++2023. 2 − xx HẾT Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
3. 3 UBND HUYỆN THANH BA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2023 - 2024 Môn: TOÁN HDC gồm có: 04 trang I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm). Mỗi câu đúng 0,5 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án D C C C B A B A A B D D A A B C II. TỰ LUẬN ( 12 điểm) Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn x22+2 y − 2 xyxy + 2 − 6 += 1 0. b) Tồn tại hay không các số nguyên tố abc,, thỏa mãn điều kiện acb +=2011 Nội dung Điểm 22 a) Biến đổi phương trình về dạng ( xy−+1) +( y − 2) == 4022 + 2. 0,5 xy− +=10 x = 3 + TH1: ⇔ . yy−=22 = 4 xy− +=10 x =− 1 + TH2: ⇔ . yy−=−22 = 0 xy− +=12 x = 3 + TH3: ⇔ . yy−=20 = 2 xy− +=−12 x =− 1 0,75 + TH4: ⇔ . yy−=20 = 2 Từ đó tìm được ( xy;)∈−{( 3;4,) ( 1;0,3;2,) ( ) ( − 1;2.)} 0,25 b += b) Giả sử tồn tại 3 số nguyên tố a,b,c thỏa mãn điêu kiện: ac2011 Khi đó ta có: cc>⇒2011 là số nguyên tố lẻ ⇒ ab chẵn ⇒=a 2 0,5 Nếu b = 2 thì cc=+=⇒22 2011 2015 5 là hợp số (loại) * bk21+ 2 k Nếu b ≥ 3 thì là số nguyên tố lẻ ⇒=bk21 +(với kN∈ ) ⇒=a 2 = 2 .2 0,5 Vì 22k ≡ 1(mod 3) và 2≡− 1(mod 3) ⇒ab = 2 2k .2 ≡− 1(mod3) Lại có: 2011≡ 1(mod3) ⇒=cab +2011 ≡ 0(mod3) ⇒c là hợp số (loại) 0,5 Vậy không tồn tại các số nguyên tố a,b,c thỏa mãn điều kiện acb +=2011
4. 5 Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho x và y là hai số thỏa mãn: ( xx−22 +5)( yy − += 55) . Hãy tính giá trị của biểu thức Mx=2023 + y 2023 b) Giải phương trình: 3x+− 1 6 − xx + 32 − 14 x −= 8 0. Nội dung Điểm a) Ta có xx−22 +5 yy − += 5 5 ( 1) ( )( ) Nhân hai vế của (1) với ( xx++2 5) ta được: ++22 −+ −+=++ 2 2 ( xx5)( xx 5)( yy 55) ( xx 5) ⇔22 − + −2 += +2 + xx( 5) ( yy 55) ( xx 5) 22 ⇔−5( yy − + 55) =( xx + + 5) 22 0,5 ⇔yy − +5 =−− xx +5 ( 2) Tương tự nhân 2 vế của (1) với ( yy++2 5) ta được: xx−22 +5 =−− yy +5 ( 3) 0,5 Cộng vế với vế của (2) và (3) ta được: 22 2 2 yy− ++−55 xx +=−− xx +−− 55 yy + ⇔22x + y =⇔ 02( xy +) =⇔+=⇔=− 0 xy 0 x y 0,5 Vậy Mx=+=2023 y 2023 0 0,5 b) 3x+− 1 6 − xx + 32 − 14 x −= 8 0( 1) 1 0,25 ĐKXĐ: −≤≤x 6 3 Ta có: (1) ⇔( 3x +− 1 4) +( 1 − 6 −xxx) +( 32 − 14 − 9) = 0 3x +− 1 16 16−−( x) ⇔ + +(31xx +)( −= 50) 3xx++ 141 + 6 − 35( x − ) x − 5 ⇔ + +(31xx +)( −= 50) 0,5 3xx++ 141 + 6 − 31 0,25 ⇔−( xx5)+ +310 += 3xx++ 141 + 6 − 0,5
5. 6 31 1 ⇔−=( x 50) Vì: + +3x +> 10 ∀−≤≤x 6 3xx++ 141 + 6 − 3 0,5 ⇔=x5( TM ). Vậy phương trình có nghiệm là: x = 5. Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh: BH . BD + CH.CE= BC 2 . b) Chứng minh BH= AC .cot ABC . c) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng MP= MQ . Nội dung Điểm ° a) Xét tam giác: ∆BHK đông dạng ∆BCD có: góc KBH chung; BKH = BDC = 90 . BH BK 0,5 ⇒∆BHK đồng dạng ∆BCD(g.g) nên = ⇒⋅=BH BD BCBK BC BD CH KC Tương tự: ∆CHK đồng dạng ∆CBE nên = ⇒CH ⋅=⋅ CE BC KC 0,5 BC CE Cộng vế với vế hai đằng thức ta được: BH⋅+ BD CH. CE = BCBK +⋅ BC KC hay BH⋅+ BD CH ⋅= CE BC() BK + KC = BC 2 0,5 BH BE 0,5 b) Chứng minh ∆BEH đồng dạng ∆CEA() g ⋅⇒ g = CA CE BE BH Xét ∆BEC vuông tại E⇒=cot ABC ⇒=cot ABC 0,5 CE CA ⇒=⋅BH ACcot ABC 0,5 c) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP= MQ . PA AH Chứng minh ∆PAH đồng dạng ∆AMB(.) g g ⇒= AM MB QA AH Chứng minh: ∆QAH đồng dạng ∆AMC(.) g g ⇒= AM MC 0,5
6. 7 QA PA Do MB= MC (gt) ⇒= AM AM 0,5 ⇒PA = QA ⇒∆ QMP cân tại M⇒= MP MQ Câu 4 (1,0 điểm). 4 100 Cho số thực x thỏa mãn 02 x . Áp dụng BĐT : a+≥ b2 ab với ab,≥ 0, ta có: 100 5 +≥36x 120 dấu bằng xảy ra khi x = . x 3 4 5 +36(2 −≥x ) 24 dấu bằng xảy ra khi x = . 2 − x 3 4 100 4 100  0,5 Suy ra A= + +2023 = + 36(2 −+xx ) + 36 + 1951 ≥ 2095. 22−−xx x x  5 Vậy MinA =2095 khi và chi khi x = . 0,5 3 HẾT