Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Vân Canh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Vân Canh (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN VÂN CANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: Toán lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 15/10/2023 Bài 1:(3điểm) x+−11 2xx32 2 Cho biểu thức Q =+−1:3 2 − 32 x+11 xx −−x +1 x −+ x x a, Rút gọn Q b, Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên Bài 2: (6điểm) a, Tìm hệ số a để đa thức f(x) = x3 – 8x2 + ax – 5 chia hết cho đa thức g(x) = x2 – 3x + 1 b, Cho n là một số tự nhiên lẻ. Chứng minh n3 – n chia hết cho 24. xyz2++= 223 c, Tìm các số dương x, y, z thỏa mãn  x+++++= y z xy yz zx 6 Bài 3: (3điểm) Cho ∆ABC có đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho ECD = BAD . a, Chứng minh AD.DE= BD.CD . b, Chứng minh AD2 = AB.AC − BD.CD . Bài 4:(4điểm) 22 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Axx= −++−+12 36 xx 16 64 xy+ 4 b, Cho ba số dương xyz,, thỏa mãn xyz++=6 . Chứng minh rằng ≥ xyz 9 Bài 5: (4điểm) Cho tam giác ABC nhọn và một điểm P thuộc miền trong tam giác. Gọi DEF,, theo thứ tự là hình chiếu của P trên các cạnh BC,, CA AB a, Chứng minh BD2+ CE 2 + AF 2 = DC 22 ++ EA FB 2 b, Xác định vị trí điểm P trong ∆ABC để tổng DC22++ EA FB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.)
2. UBND HUYỆN VÂN CANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 – 2024 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI Môn: Toán lớp 9 ( Gồm có 03 trang) Bài Yêu cầu cần đạt Điểm x+−11 2xx32 2 x ≠−0; 1; 2 Q =+−1: − a, ĐK: .Ta có: 3 2 32 x+11 xx −−x +1 x −+ x x 2 0,75điểm x++1 x +− 12( xx − + 1) xx2 −+1 =1. + (x+11)( xx2 −+) xx( − 2) Bài 1a −24x22 + x xx −+ 1 −−22xx( ) xx2 −+1 =1. + =1. + 0,75 điểm (x−11)( xx2 −+) xx( − 2) (x+11)( xx2 −+) xx( − 2) −−21x =+=1 0,5 điểm xx++11 Bài 1b Lập luận để QZ∈ =>∈− x{ 3; − 2;1} 1,0 điểm Thực hiện phép chia đa thức, tìm được phần dư là: (a – 16)x 0,75 điểm Bài 2a Để f(x) chia hết cho g(x) thì (a – 16)x là đa thức không ⇔−(ax 16) =∀ 0, x 0,75 điểm ⇔ a −=16 0 ⇔=a 16 0,5điểm Ta có: n3 – n = n(n – 1)(n + 1) Vì n – 1, n, n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có một số chia hết cho 3. 0,75 điểm Do đó: n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3 Bài 2b Vì n – 1, n, n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp và n là số lẻ nên sẽ có một số chia 0,75 điểm hết cho 2 và một số chia hết cho 4. Do đó: n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 8 Mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 24 0,5điểm Vậy n3 – n chia hết cho 24 (đpcm) xyz2++= 223 Từ GT ta suy ra:  2(x+++++= y z ) 2 xy 2 yz 2 zx 12 0,5 điểm Cộng vế theo vế ta được: (x + y + z)2 + 2(x + y + z) = 15 ⇒ [(x + y + z) + 1]2 = 16 Bài 2c ⇒ x + y + z = 3 (vì x, y, z > 0) ⇒ xy + yz + zx = 3 2 2 2 ⇒ x + y + z = xy + yz + zx 1,0 điểm 2 2 2 ⇒ 2x + 2y + 2z – 2xy – 2yz – 2zx = 0 2 2 2 ⇒ (x – y) + (y – z) + (z – x) = 0
3. ⇒==xyz 0,5điểm Thay x = y = z vào giả thiết x2 + y2 + z2 = 3 suy ra x = y = z = 1. *Chứng minh AD.DE= BD.CD . - Chứng tỏ được hai tam giác ADB và CDE A 3a đồng dạng theo trường hợp góc – góc 1điểm AD CD Suy ra =⇒=AD.DE BD.CD (1) BD DE * Chứng minh AD2 = AB.AC − BD.CD . B D C - Chứng tỏ hai tam giác ABD và AEC đồng 1điểm 3b E dạng, suy ra AD.AE = AB.AC (2) - Lấy (2) trừ (1) theo vế sẽ được kết quả : 1điểm AD2 = AB.AC − BD.CD 22 Axx=22 −++−+=−+12 36 xx 16 64( x 6) ( x − 8) 0,5 điểm Bài 4a Ax=−+−=−+−≥−+−=6 x 8 x 6 8 x x 68 x 2 0,75 điểm Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi ( xx−68)( −≥) 0 hay 68≤≤x . 0,75 điểm 2 Ta có: (x+≥ y) 4xy (1) 0,5 điểm 2 ⇒ (xy++) z ≥ 4(xy)z + ⇔≥36 4(x + y)z (vì xyz++=6 ) 0,5 điểm 2 Bài 4b ⇔36(x +≥ y) 4(x + y) z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) 0,5 điểm Từ (1) và (2), ta có: 36(x+≥ y) 16xyz 4 xy+ 4 0,5 điểm ⇔+≥x y xyz ⇔≥ (đpcm) 9 xyz 9 2 2 2 22 2 A * BD+ CE + AF = DC ++ EA FB Ta có: E BD22++ CE AF 2 1điểm Bài 5a F P =−+−+−(PB22 PF) ( PC 2 PD 2) ( PA 22 PE ) B D C ⇒BD2 ++=+ CE 22 AF FB 2 DC 2 + EA 2 1điểm Giả sử: BD≥⇒−≥ DC BD DC 0 2 0,5điểm ⇒(BD − DC) ≥⇒0 BD22 + DC ≥2. BD DC Bài 5b ⇒2(BD22 + DC) ≥+ BD 22. BD DC + DC 2 2 BC 0,5điểm ⇒2(BD22 + DC) ≥⇒+≥ BC 2 BD 22 DC 2
4. BC 222AC AB Chứng minh tương tự: BD2+≥ DC 2;; CE 22 +≥ AE BF 22 +≥ AF 222 1 BC 2 Từ đó suy ra: DC222++≥ EA FB( AB 2 + BC 22 + CA); BD 2 + DC 2 ≥ 42 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi D là trung điểm của BC 1 điểm Nên tổng DC22++ EA FB 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi DEF,, theo thứ tự là trung điểm của BC,, CA AB nghĩa là P là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh BC,, CA AB . Điểm số toàn bài được làm tròn đến một chữ số thập phân; mọi cách giải khác đúng và phù hợp với chương trình nâng cao bậc THCS đều được chấp nhận o0o