Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Tiên Du (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Tiên Du (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN TIÊN DU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/2/2023 I. PHẦN CHUNG Câu 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A 2 3 3 4 4 5 5 6 2 2 21 b) B 3 5 0,5.0, 3 . 9 : 1 33 2 5 .64 9 2 .8 4 c) C 12 4 Câu 2 (3,0 điểm) Tìm x biết: 1 1 2 a) : 2x 1 3 3 3 1 x 25 b) . 91x ab b Câu 3 (2,0 điểm) Cho các số có hai chữ số ab; bc thỏa mãn c 0 . bc c a22 b a Chứng minh rằng . b22 c c Câu 4 (6,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. a) Chứng minh rằng BI = ID. b) Tia DI cắt tia AB tại điểm E. Chứng minh rằng IBE IDC.Từ đó suy ra BD // CE. c) Gọi H là trung điểm của EC. Chứng minh AH BD d) Cho ABC 2. ACB .Chứng minh AB + BI = AC. II. PHẦN RIÊNG Thí sinh lựa chọn làm một (chỉ một) câu trong hai câu sau: Câu 5a (4,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1) Cho A .Chứng minh rằng A . 72 7 4 7 6 7 8 7 98 7 100 50 2) Tìm tất cả các số tự nhiên m và n thỏa mãn 2m 2021 nn 2020 2022 . Câu 5b (4,0 điểm) 1 2 3 99 100 7 1) Cho A .Chứng minh rằng A . 7 72 7 3 7 9 7 100 36 2) Tìm tất cả các sống uyên dương a12, a , , an và b (n là số nguyên dương nào đó) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) b a12 a an 1. 1 1 1 1 ii) 1 1 1 2 1 . a12 a an b HẾT Họ và tên thí sinh : Số báo danh
2. UBND HUYỆN TIÊN DU HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GD & ĐT ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán - Lớp 7 Câu Đáp án Điểm 1.a (1,5 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 1 1 0,5 2.3 3.4 4.5 5.6 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 5.6 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 2 3 3 4 4 5 5 6 11 26 1 0,5 3 1.b (1,5 điểm) 2 2 21 B 3 5 0,5.0, 3 . 9 : 1 33 1 1 4 4 0,75 3. 25 . .3 : 2 3 3 3 1 4 3 3.5 . 2 3 4 0,5 1 15 1 2 27 0,25 . 2 1.c (1,5 điểm) 2 5 .64 9 2 .8 4 C 4 12 25 . 2.3 4 3 4 .2 12 4 12 0,5 5 4 4 12 4 2 .2 .3 2 .3 4 22 .3 29 .3 4 2 12 .3 4 284 .3 0,5 29 .3 4 1 2 3 84 2 .3 14. 0,5 2.a (1,5 điểm)
3. 1 1 2 : 2x 1 3 3 3 1 1 2 : 2x 1 0,25 3 3 3 1 : 2x 1 1 3 1 0,25 21x 3 12 21xx 0,25 33 11 0,5 21xx 33 12 0,25 Vậy x ;. 33 2.b (1,5 điểm) 1 x 25 91x 1 xx 1 9 . 25 0,5 2 1 x 225 0,25 1 xx 15 14 1 xx 15 16 0,5 Vậy x 14;16 . 0,25 3. (2,0 điểm) ab b Cho các số có hai chữ số ab; bc thỏa mãn c 0 . bc c a22 b a Chứng minh rằng . b22 c c + Với các số có hai chữ số thỏa mãn . Ta có: ab10 a b 10 a b b . 0,25 bc 10b c 10 b c c Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được: 10a b b 10 a b b 10 a a . 10b c c 10 b c c 10 b b 0,5 22 a b a b a b a 0,5 Từ 22 b c b c b c c Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được: a2 b 2 a a 2 b 2 b2 c 2 c b 2 c 2 0,5 Vậy 0,25 4.1 (2,0 điểm)
4. Cho tam giác ABC có AB AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. e) Chứng minh rằng BI = ID. f) Tia DI cắt tia AB tại điểm E. Chứng minh rằng IBE IDC.Từ đó suy ra BD // CE. g) Gọi H là trung điểm của EC. Chứng minh AH BD. h) Cho ABC 2. ACB . Chứng minh AB + BI = AC. A D B C I 0,5 H E Vẽ hình đúng, ghi GT- KL đủ + Chứng minh ABI ADI c g c 1,0 0,5 BI ID (hai cạnh tương ứng) 4.2 (1,5 điểm) + ABI ADI cmt ABI ADI 0,25 Mà ABI IBE 18000 ; ADI IDC 180 (kề bù) 0,25 IBE IDC 0,25 Chứng minh IBE IDC g c g 1800 BID + IB = ID (cmt) IBD cân tại I IBD 0,25 2 1800 CIE IBE IDC cmt IE IC ICE cân tại I ICE 0,25 2 Mà BID CIE (đối đỉnh) nên IBD ICE mà hai góc nay so le trong nên BD // CE. 0,25 4.3 (1,5 điểm) + IBE IDC cmt BE DC . Mà AB = AD AB BE AD DC AE AC . 0,25 Chứng minh AEH ACH c c c AHE AHC . 0,5 Mà AHE AHC 1800 (kề bù) 0,5 AHE 900 AH  EC Lại có EC // BD (cmt) AH BD. 0,25 4.4 (1,5 điểm)
5. + Có ABC 2. ACB hay ABI 2. DCI , mà ABI ADI cmt ADI 2. DCI (1) 0,5 + Lại có ADI là góc ngoài tại D của DIC ADI DCI DIC (2) 0,5 + Từ (1) và (2) DCI DIC DIC cân tại D DI DC Mà DI = BI, AB = AD nên AB + BI = AD + DC = AC (đpcm) 0,5 5.1 bảng A (2,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 a) Cho A . Chứng minh rằng A . 72 7 4 7 6 7 8 7 98 7 100 50 1 1 1 1 1 1 A 72 7 4 7 6 7 8 7 98 7 100 Ta có: 22 1 1 1 1 1 1 7 .A 7 . 2 4 6 8 98 100 0,5 7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 0,5 49A 1 2 4 6 96 98 7 7 7 7 7 111 11 1111 11 49AA 12 4 6 96 98 2 4 6 8 98 100 777 77 7777 77 0,5 1 50A 1 1 7100 1 0,5 A . Suy ra đpcm. 50 5.2 bảng A (2,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên m và n thỏa mãn 2m 2021 nn 2020 2022 . Với m, n là các số tự nhiên thỏa mãn Ta xét ba trường hợp sau: 0,25 Trường hợp 1: n 2022 , ta có: 2m 2021 2n 4042 0,5 m 2 2n 6063 m Vế phải là số lẻ, mà 2n là số chẵn 2 là số lẻ m 0 n 3032 tm Trường hợp 2: 2020 n 2022 , ta có: m 0,5 2 2021 nn 2020 2022 m 2 2019 (vô lí) Trường hợp 3: n 2020 , ta có: 2m 2021 4042 2n 0,5 2m 2n 2021 Vế phải là số lẻ, mà 2n là số chẵn là số lẻ m 0 n 1010 tm Vậy m = 0, n = 3032 hoặc m = 0, n = 1010 thỏa mãn bài ra. 0,25 5.1 bảng B (2,0 điểm)
6. 1 2 3 99 100 7 Cho A . Chứng minh rằng A . 7 72 7 3 7 99 7 100 36 1 2 3 99 100 A 7 72 7 3 7 99 7 100 1 2 3 99 100 7A 7. 2 3 99 100 7 7 7 7 7 2 3 4 99 100 1 7 72 7 3 7 98 7 99 2 3 4 99 100 1 2 3 99 100 7AA 12 3 98 99 2 3 99 100 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 100 6A 1 0,75 7 72 7 3 7 9877 99 100 1 1 1 1 1 Đặt B 1 7 72 7 3 7 98 7 99 1 1 1 1 1 7B 7. 1 2 3 98 99 7 7 7 7 7 1 1 1 1 7 1 7 72 7 3 7 98 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7BB 7 12 3 98 1 2 3 98 99 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 6B 7 7 799 7 0,75 B 6 Lại có: 100 7 7 6ABBAA 6 . 0,5 7100 6 36 5.2 bảng B (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương a, a , , a và b (n là số nguyên dương nào đó) 12 n thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: iii) b a12 a an 1. 1 1 1 1 iv) 1 1 1 2 1 . a12 a an b Vì và b là các số nguyên dương (n là số nguyên dương nào đó) thỏa 1 1 1 1 2 1 4 mãn b a12 a an 1 b 3 1 1 2 1 * 0,75 b3 b 3 3 b 3 Lại có: a12 a an 1 1 1 1 0 1 0,25 a12 a an
7. 1 0,75 0 1 1 a 1 1 0 1 1 1 1 1 a2 1 1 1 1 a a a 12 n 1 0 1 1 0,25 an 1 1 1 1 Từ (*) và ( ) suy ra điều mâu thuẫn với 1 1 1 2 1 . a12 a an b Vậy ko tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn bài ra. Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. Hết