Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Đề chính thức - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Bái (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Đề chính thức - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Bái (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN YÊN BÌNH Năm học 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán 8 (Đề thi gồm: 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/11/2022 Câu 1: (4,0 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử: a. x2 + 7x +12 b. x4 + 2023x2 + 2022x + 2023 Câu 2: (4,0 điểm): a. Chứng minh rằng nếu: x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz thì x = y = z b. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) x + 2 x + 4 x + 6 x +8 + 2022 cho đa thức x2 +10x + 21. Câu 3: (4,0 điểm): a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3x - 4 b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy + 3x -5y = 9 Câu 4: (7,0 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt đường thẳng BC tại P và R, cắt đường thẳng CD tại Q và S. a. Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. b. QR cắt PS tại H; M, N lần lượt là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c. Chứng minh P là trực tâm SQR. d. Chứng minh MN là đường trung trực của AC. e. Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Câu 5: (1,0 điểm): Chứng minh: B n3 6n2 11n 6  24 với n là một số tự nhiên lẻ. Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1: Cán bộ coi thi số 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2022 – 2023 - Môn: Toán 8 Câu Nội dung Điểm a) x2 7x 12 x2 3x 4x 12 (x2 3x) (4x 12) 1,0 1,0 Câu 1 x(x 3) 4(x 3) (x 3)(x 4) 4 2 4 2 0,5 (4,0 b) x + 2023x + 2022x + 2023 = x x + 2023x 2023x 2023 3 2 2 2 1,0 điểm) x(x 1) 2023(x + x +1) x(x 1)(x x 1) 2023(x x 1) (x2 x 1)(x2 x 2023) 0,5 a) Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = 0 1,0 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0 (1) Ta có : (x – y)2 0, (y – z)2 0 , (z – x)2 0 x y 0 Câu 2 Do đó: (1) y z 0 . 1,0 (4,0 điểm) z x 0 b) P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2022 x2 10x 16 x2 10x 24 2022 Đặt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) được viết lại: 1,0 P(x) t 5 t 3 2022 t 2 2t 2007 Do đó khi chia t 2 2t 2007 cho t ta có số dư là 2007 1,0 2 2 3 9 9 a) Ta có: A = 2x + 3x - 4 = 2 x 2.x. 4 4 16 8 2 1,0 3 41 41 3 3 = 2 x + Dấu “=” xảy ra khi x 0 x 4 8 8 4 4 41 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi x 1,0 8 4 b) 2xy + 3x -5y = 9 Câu 3 4xy + 6x -10y = 18 2x(2y + 3) -5(2y + 3) = 3 0,5 (4,0 điểm) (2y + 3)(2x -5) = 3 do x, y là các số nguyên nên ta có bảng sau: 0,5 2x - 5 -3 -1 1 3 2y + 3 -1 -3 3 1 x 1 2 3 4 y -2 -3 0 -1 1,0 Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn là: (1;-2), (2;-3), (3;0), (4;-1)
3. Vẽ đúng hình, cân đối đẹp. 0,5 a) ADQ ABR (cgv-gn) vì D· AQ B· AR (cùng phụ với B· AQ ) và DA = BA (cạnh hình Câu 4 vuông). Suy ra AQ = AR, nên AQR là tam (7,0 điểm) giác vuông cân tại A. Chứng minh tương tự ta có: ABP = ADS 1,5 do đó AP = AS và APS là tam giác vuông cân tại A. b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN  SP và AM  RQ. Mặt khác: 1,5 P· AN P· AM = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AMHN có ba góc vuông, nên AMHN là hình chữ nhật. c) Theo giả thiết: QA  RS, RC  SQ nên QA và RC là hai đường cao của 1,0 SQR. Vậy P là trực tâm của SQR. d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = 1 QR 2 MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. 1,0 Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng nằm trên đ- 1,5 ường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. n3 6n2 11n 6 n3 3n2 3n2 9n 2n 6 n2 (n 3) 3n(n 3) 2(n 3) (n 3)(n2 3n 2) 2 (n 3) (n n) (2n 2) (n 3)n(n 1) 2(n 1) 0,5 Câu 5 (n 3)(n 2)(n 1) (1,0 Do n lẻ nên n-3, n-2, n-1 là 3 số tự nhiên liên tiếp trong đó có hai số chẵn. điểm) Trong 2 số chẵn này có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 4. Nên (n 3)(n 2)(n 1)2.4 8 Mặt khác (n 3)(n 2)(n 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên (n 3)(n 2)(n 1)3 mà (8;3) = 1 0,5 (n 3)(n 2)(n 1)8.3 24 Vậy, n3 6n2 11n 6  24 với mọi số tự nhiên n lẻ. * Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn tính điểm tối đa.