Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Đề dự bị - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Bái (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Đề dự bị - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Bái (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN YÊN BÌNH NĂM HỌC: 2022- 2023 ĐỀ DỰ BỊ Môn thi: TOÁN LỚP 8 (Đề gồm có 01 trang) Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4,0 điểm) a. Phân tích thành nhân tử: x2 + 6x + 5 b. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: 12n2 – 5n – 25 Câu 2: (4,0 điểm) a. Cho x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x.y 4 a c a b a 4 b4 b. Chứng minh rằng nếu thì 4 4 b d c d c d Câu 3: (4,0 điểm) ab a. Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0.Tính: P 4a 2 b 2 b. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng nếu a 3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c. Câu 4: (4,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. a. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy. b. Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành. Câu 5: (3,5 điểm) Cho ABC có diện tích bằng 30 cm2. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt AM BN CD 1 lấy các điểm M, N, D sao cho . Tính diện tích MND. AB BC CA 3 HẾT
2. PHÒNG GD&ĐT H ƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN BÌNH Môn: Toán - lớp 8 Năm học 2022-2023 ĐỀ DỰ BỊ Câu Hướng dẫn Điểm a) Ta có: x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) = 2 x 1 x 5 b) Với n N, ta có: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 – 20n + 15n – 25 0,5 = 4n(3n – 5) + 5(3n – 5) 1 = (3n – 5)(4n + 5) 0,5 (4,0) Vì n N nên 3n – 5 n = 2 Vậy với n = 2 thì 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố 0,5 a) Ta có x + y = 1 => y = 1 – x 0,25 Khi đó P = x.y = x.(1 – x) = x – x2 0,25 1 1 = - (x2 – x + - ) 4 4 0,25 1 1 = - [(x - )2 - ] 2 4 0,25 1 1 = - (x - )2 + 2 4 1 0,25 Do - (x - )2 0 với mọi x 2 2 (4,0) 1 1 1 => P = - (x - )2 + 2 4 4 0,25 1 x 0 1 2 Nên giá trị lớn nhất của P = 0,25 4 x y 1 0,25 1 x 2 1 y 2 1 1 1 Vậy với x ; y thì biểu thức P = x.y có giá trị lớn nhất là 2 2 4 a c a b a 4 b 4 a 4 b 4 b) Từ 4 4 4 4 (1) b d c d c d c d 0,5 a c a b a b a 4 b 4 (a b) 4 Từ 4 4 4 (2) 0,5 b d c d c d c d (c d) 0,5 4 a b a 4 b 4 Từ 1 và 2 suy ra 0,5 c d c 4 d 4
3. ab a) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0.Tính: P 4a 2 b 2 biến đổi được : 4a2 + b2 = 5ab (4a - b)(a -b) = 0 b = 4a hoặc b = a Mà 2a b 0 4a > 2b > b nên a = b 0,5 3 0,5 a 2 1 (4,0) Ta có : P = 4a 2 a 2 3 0,5 1 Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 thì P 3 0,5 b) a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3abc 0 0,5 a3 3a2b 3ab2 b3 3a2b 3ab2 c3 3abc 0 a b 3 c3 3a2b 3ab2 3abc 0 (a b c) a b 2 a b c c2 3ab(a+b+c) = 0 0,5 (a b c)(a2 2ab+b2 ac bc c2 3ab) = 0 (a b c)(a2 +b2 c2 ab ac bc) = 0 1 (a b c) (a2 +b2 2ab) (a2 c2 2ac)+(b2 c2 2bc) 0 2 0,5 1 2 2 2 (a b c) a b a c b c 0 2 1 2 2 2 mà a, b, c >0, nên (a b c) a b a c b c 0 2 a b 2 0 2 a c 0 a b c 0,5 b c 2 0 Gọi O là giao điểm hai đường chéo A E B của hình bình hành ABCD, ta có O là // // 0,25 trung điểm của BD và AC. M 4 Tứ giác BEDF có BE //DF O 1,0 (4,5) AB CD BE = DE (= ) 2 2 N 1,0 // // C Nên tứ giác BEDF là hình bình hành. D F Có O là trung điểm của BD nên O 1,0 cũng là trung điểm của EF Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O. 1,25
4. A 5 (3,5) M D 0,25 B N C S BM Ta có BMN (chung đường cao hạ từ N) 0,5 SABN BA AM 1 AB AM 3 1 BM 2 mà hay AB 3 AB 3 BA 3 0,5 S 2 BMN 0,5 SABN 3 S BN 1 Tương tự có ABN (chung đường cao từ A) 0,5 SABC BC 3 S S 2 1 BMN . ABN . SABN SABC 3 3 0,5 S 2 BMN SABC 9 S 2 S 2 Tương tự có DNC ; ADM 0,5 SABC 9 SABC 9 SMND SABC SADM SBMN SDNC 2 1 1 0,25 = S - 3. S = S = . 30 = 10 cm2 ABC 9 ABC 3 ABC 3 Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa của câu hỏi đó.