Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT An Dương (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT An Dương (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN AN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 -2023 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1. (2,0 điểm) 1. Cho hai số a, b thỏa mãn a b9; ab 14. Chứng minh rằng: a2 b 22( a 3 b 3 ) 755. 2. Tìm một đa thức bậc ba P( x ), biết P( x ) chia cho các đa thức x 1 , x 2 , x 3 đều được dư là 6 và P 1 18 . Bài 2. (2,0 điểm) 1. Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức p( p 1) q ( q2 1). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho p 1 kq ; q2 1 kp . 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2xx2 4 19 3 y 2 . Bài 3. (2,0 điểm) 5 1. Giải phương trình: x2 4x 1 0. x2 4x 5 2. Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 1 (a b c ) 3a2 8 b 2 14 ab 3 b 2 8 c 2 14 bc 3 c 2 8 a 2 14 ca 5 Bài 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF ( H thuộc BF ), đường thẳng AH cắt các đường thẳng DC và BC lần lượt tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng : AC 2 EF . 1 1 1 3. Chứng minh rằng : . AD2 AM 2 AN 2 Bài 5. (1,0 điểm) Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thua b1 trận, đội thứ 2 thắng a2 trận và thua b2 trận, ., đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9 trận. 2 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằnga1 a 2 a 3 a 9 b 1 b 2 b 3 b 9 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh
2. UBND HUYỆN AN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 -2023 MÔN: TOÁN 8 HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Nội dung cần đạt Điểm 1 1. Cho hai số a, b thỏa mãn a b9; ab 14. Chứng minh rằng: (2,0đ) a2 b 22( a 3 b 3 ) 755. Ta có: 0,25 a2 b 2( a b ) 2 2 ab 9 2 2.14 53. a3 b 3( a b ) 3 3 ab ( a b ) 9 3 3.14.9 351 0,25 2(a3 b 3 ) 2.351 702. 0,25 Vậy: a2 b 22( a 3 b 3 ) 53 702 755. 0,25 2. Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho x 1 , x 2 , x 3 đều được dư 6 và P 1 18 . Theo định lí Bézout ta có: P 1 P 2 P 3 6. 0,25 Do đó ta đặt Pxdcx 1 bx 1 x 2 ax 1 x 2 x 3 Cho x 1 ta được P 1 d , suy ra d 6 Px 6 cx 1 bx 1 x 2 ax 1 x 2 x 3 Cho x 2 ta được P 2 6 c , suy ra c 0 0,25 Px 6 0 x 1 bx 1 x 2 ax 1 x 2 x 3 Cho x 3 ta được P 3 6 2 b , suy ra b 0 0,25 Px 6 0 x 1 0 xx 1 2 axxx 1 2 3 Do đó Px 6 ax 1 x 2 x 3 Cho x 1 ta được P 1 6 24 a , do đó 18 6 24a suy ra 0,25 a 1. Vậy Px 6 1. xx 1 2 x 3 Rút gọn ta được: Pxx 36 x 2 11 x . 1. Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức p( p 1) q ( q2 1). 2 Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho p 1 kq ; q 1 kp . 0,25 2 p q 0 Nếu p q thì ta có p 1 q 1 , điều này vô lí vì p, q p q 1 là các số nguyên tố. Do đó p q , khi đó do p, q là các số nguyên tố nên 0,25 (p 1) q ; ( q2 1)  p . Như vậy tồn tại các số nguyên dương m, n thỏa mãn 0,25 p 1 mq ; q2 1 np .
3. Thay vào đẳng thức đã cho ta được p mq q np m n p 1 kq 0,25 Vậy tồn tại số nguyên dương k( m n ) sao cho . 2 2 (2,0đ) q 1 kp Giải phương trình nghiệm nguyên: 2xx2 4 19 3 y 2 . Biến đổi phương trình đã cho ta được : 0,25 2xx2 4 19 3 y 2 2( x 1) 2 3 y 2 21 Suy ra : 3y2 21 y 2 7 y 2 0;1;4 . 0,25 Với y2 0 2( x 1) 2 21.PT không có nghiệm nguyên. 0,25 2 2 2 x 1 3 x 4 Với y 1 2( x 1) 18 ( x 1) 9 x 1 3 y 2 x 4 y 1; x 2 y 1 Ta được (x ; y ) ( 2;1);( 2; 1);(4;1);(4; 1) . Với y2 4 2( x 1) 2 9.PT không có nghiệm nguyên. 0,25 Vậy PT đã cho có các nghiệm nguyên (;x y ) là: ( 2;1);( 2; 1);(4;1);(4; 1) 5 Giải phương trình: x2 4x 1 0. x2 4x 5 2 2 0,25 ĐKXĐ: x do xxx 4 5 2  10 x . Đặt x2 4 x 5 y thì y 1 và xx2 4 1 y 4. 0,25 Phương trình đã cho trở thành: y 5 0,25 5 2 y40 5 yy 4 0 yy 5 1 0 y y 1 loaïi 3 (2,0đ) 2 x 0 0,25 Với y 5 ta có xx 4 5 5 xx 4 0 x 4 Vậy PT đã cho có tập nghiệm là: S 0;4 . Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 1 (a b c ) 3814a2 b 2 ab 3814 b 2 c 2 bc 3814 c 2 a 2 ca 5 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 0,25 1 3a2 8 b 2 14 ab ( a 4)(3 b a 2) b (4 a 6)2 b a 3 b 2 Tương tự ta có: 0,25
4. 3b2 8 c 2 14 bc 2 b 3 c ; 3 c 2 8 a 2 14 ca 2 c 3 a . Do đó: 0,25 a2 b 2 c 2 2 2 2 2 2 2 3a 8 b 14 ab 3 b 8 c 14 bc 3 c 8 a 14 ca a2 b 2 c 2 (1) 2a 3 b 2 b 3 c 2 c 3 a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 0,25 a2 b 2 c 2( abc ) 2 1 (a b c ) (2) 2323232323235abbccaabbcca Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c. Cho hình vuông ABCD,trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF ( H thuộc BF ), đường thẳng AH cắt các đường thẳng DC và BC lần lượt tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng : AC 2 EF . 1 1 1 3. Chứng minh rằng : . AD2 AM 2 AN 2 A E B H F D C M 4 (3,0đ) N a) Ta có: MAD ABF (cùng phụ với BAH ) 0 AB AD( gt ); BAF ADM 90 (ABCD là hình vuông) 0,25 ADM BAF g c g DM AF,mà AF AE( gt ) nên AE DM 0,25 Lại có: AE// DM (vì AB// DC ) 0,25 Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành .
5. Mặt khác DAE 900 ( gt ) 0,25 Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật b) Ta có ABH# FAH( g . g ) 0,25 AB BH BC BH hay AB BCAE; AF AF AH AE AH Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH ) 0,25 CBH# AEH(. cgc .) 2 2 0,25 SCBH BC SCBH BC 2 2 , mà 4(gt ) 4 BC 2 AE SEAH AE SEAH AE BC 2 AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 0,25 Do đó: BD 2 EF hay AC 2 EF . c) Do AD/ / CN ( gt ).Áp dụng hệ quả của định lí Ta-let ta có: 0,25 AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có: MC//. AB gt Áp dụng hệ quả của định lí Ta-let ta có: 0,25 MN MC AB MC AD MC hay AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 AD AD CN CM CN2 CM 2 MN 2 0,25 2 2 1 AM AN MN MN MN MN 2 2 AD AD 1 1 1 0,25 12 2 2 ()dfcm AM AN AM AN AD Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thuab1 trận, đội thứ 2 thắng a2 trận và thua b2 trận, ., đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9 trận. 2 2 2 2 2 2 2 2 5 Chứng minh rằng a1 a 2 a 3 a 9 b 1 b 2 b 3 b 9 . (1,0đ) Mỗi đội bóng thi đấu với 8 đội bóng khác và hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau 0,25 1 trận nên mỗi đôi sẽ thi đấu 8 trận ai b i 8 (với i = 1;2;3; ;8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 0,25 a2 a 2 a 2 a 2 8 a 2 8 a 2 8 a 2 8 a 2 1 2 3 9 1 2 3 9 16 a1 a 2 a 3 a 9 576 (1) Mặt khác, tổng số trận thắng của các đội bằng tổng số trận đấu nên : 0,25 9.8 a a a a 36 (2) 1 2 3 9 2 Từ (1) và (2) suy ra đẳng thức cần chứng minh luôn đúng. 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy a1 a 2 a 3 a 9 b 1 b 2 b 3 b 9 . * Chú ý: + Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. + Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.