Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Đề chính thức - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Bình (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Đề chính thức - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Bình (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN YÊN BÌNH Năm học 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán 9 (Đề gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/11/2022 x 2 x 1 1 Câu 1: (4,0 điểm) Cho A (x 0; x 1) x x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A với x 9 4 2 . 1 c) Chứng minh rằng A . 3 Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x2 4x 3 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x 22 3xy 9y2 . c) Tìm số tự nhiên biết: Nếu số đó cộng thêm 64 đơn vị hoặc bớt đi 35 đơn vị thì ta đều được một số chính phương. Câu 3: (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh BC và AD lần lượt lấy các điểm E và F sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh: CM . DN = a2; b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh: M· KN 90o c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất ? Câu 4: (4 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 x2 6x 9 a2 b2 c2 a b c b) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng b c a c a b 2 Câu 5 : (3 điểm) Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm và góc giữa AC và BD bằng 300. Tính diện tích tứ giác ABCD. Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Cán bộ coi thi số 1: Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2022 – 2023 - Môn: Toán lớp 9 Câu Nội dung Điểm a) Với x 0; x 1 ta có: x 2 x 1 1 A 0,5 x3 1 x2 x 1 x 1 x 2 ( x 1)( x 1) x2 x 1 A 0,5 x3 1 x3 1 x3 1 x x x Câu 1 A x3 1 x x 1 0,5 b) x 9 4 2 (2 2 1)2 x 2 2 1 0,5 2 2 1 2 2 1 A 9 4 2 2 2 1 1 9 2 2 0,5 1 16 2 A 0,5 73 1 1 x 1 c) A A 0 0 3 3 x x 1 3 Thật vậy: Với x 0; x 1 ta có: 1,0 x 1 3 x (x x 1) (x 2 x 1) ( x 1)2 0 , x x 1 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3(x x 1) 1 Vậy A (đpcm) 3 a) Giải phương trình x 3 2x x 1 2x x2 4x 3 Đk x≥ - 1 0,5  ( x 3 2x)( x 1 1) 0 0,5  x 3 2x 0 hoặc x 1 1 0 Câu 2 0,5  x 3 2x x 1 1  x 0, x+3 = 4x2 x = 0  x = 1 Vậy tập nghiệm của PT là : S = {0;1} b) Ta có: 9y2 22 9y2 25 3 3 5x 22 3xy 9y2 x 3y 5 3y 5 3y 5 3y 5 0,5 Do đó x, y nguyên 3  3y 5 3y 5 U (3) 1; 3 +) 3y+5 = -1 thì y = -2; x = -14
3. +) 3y+5 = 1 thì y = 4 (loại) 3 +) 3y+5 = -3 thì y = 8 (loại) 3 +) 3y+5 = 3 thì y = 2 (loại) 1,0 3 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm (x;y) = (-14; -2) c, Gọi số tự nhiên cần tìm là A. Vậy ta có: 2 A 64 k k N 2 A 35 t t N 2 2 k t 99 k t k t 99 0,5 Vậy k - t và k + t là ước của 99 và tích hai ước này phải bằng 99, mà: Ư(99) = { 1; 3; 9; 11; 33; 99 }, mặt khác k - t < k + t, nên ta có: k t 1 k 50 k t 99 t 49 k t 3 k 18 k t 33 t 15 k t 9 k 10 k t 11 t 1 - Nếu: + k = 50 A = 2436 + k = 18 A = 260 0,5 + k = 10 A = 36 Vậy A = { 2436 ; 260 ; 36 } K A B F Câu 3 E 0,5 N D a C M CM CE AF AB 1,0 a) AB // MN nên AB BE FD DN 0,5 CM .DN AB2 a2 CM AB CM AD 0,5 b) Theo câu a ta có: AB DN CB DN Và B· CM ·ADN 900 0,5 Do đó CMB DAN (c.g.c). nên C· MB D· AN 0,5 o Suy ra C· MB D· NA 90o . Vậy M· KN 90 . c) MN nhỏ nhất CM + DN nhỏ nhất. 0,5 Các độ dài CM, DN có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất CM = DN. 0,5 Khi đó CM2 = a2, CM = DN = a. Độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a
4. khi và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. 0,5 Giải: 2 2 2 a) x x 6x 9 x (3 x) x 3 x x 3 x 3 1,0 Câu 4 Dấu “=” xảy ra x.(3 x) 0 0 x 3 1,0 Vậy x2 x2 6x 9 đạt GTNN bằng 3 khi 0 x 3 b) Áp dụng BĐT Cosi, ta có: a2 b c b2 a c c2 a b 1,0 a; b; c b c 4 a c 4 a b 4 Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta được a2 b2 c2 a b c a b c b c a c a b 2 1,0 a2 b2 c2 a b c (dpcm) b c a c a b 2 C B H O K 0,5 A D Câu 5 - Vẽ AH  BD; CK  BD ( H, K BD) - Trong HAO vuông tại H có ·AOH 300 0,5 1 AH AO ( Tính chất tam giác vuông) 2 - Trong CKO vuông tại H có C· OK 300 1 0,5 CK CO ( Tính chất tam giác vuông) 2 - Ta có: 1 1 1 0,5 S S S AH.BD CK.BD BD AH CK ABCD ABD BCD 2 2 2 1 1 1 1 1 0,5 SABCD BD AO CO BD. AO CO 2 2 2 2 2 1 1 0,5 S BD.AC .12.10 30 (cm2 ) ABCD 4 4