Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Thành phố Sầm Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Thành phố Sầm Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ SẦM SƠN NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN THI: TOÁN LỚP 7 - THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) 32 42410+ 1. Tính: . 8 16428+ 1323334393103 2. Tính nhanh : a) A = −+−++− ; 4.99.1414.1919.2444.4949.54 111111 b) B = +++++ . 618366090126 3. Cho 2x = 8y+1 và 9y = 3x – 9 (x, y N). Tính giá trị của biểu thức x - 2y2. Câu 2. (4,0 điểm) 1. Tìm các số a, b, c biết: (a – b – 1) : (a + b – 1) : (a – 1)b = 3 : 7 : 30. 2. Tìm x, biết: 32545xx−−=− . Câu 3. (4,0 điểm) 1. Số M được chia thành ba phần tỉ lệ với nhau như 0,25: 0,375 : 0,1(3). Tìm số M, biết rằng tổng các bình phương của ba phần đó bằng 4564. (Lưu ý: 1,(3) = 4 ). 3 2 2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức N = 341xx−+có giá trị nguyên. x − 2 Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ABCACB==300 . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho DBE = 300 . Gọi P là điểm trên cạnh BC sao cho BP = BD. Vẽ PQ vuông góc với CD. a) Chứng minh rằng tam giác AEB là tam giác vuông. 111 b) Chứng minh rằng =+. BEBCBD222 c) Chứng minh rằng EB = EQ. d) So sánh hai đoạn thẳng AE và AQ. Câu 5. (2,0 điểm) So sánh A và B biết: 2016201720182019 1111 A = +++ và B = ++++ . 2017201820192016 891063 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ SẦM SƠN CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán - Lớp 7 (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 32 42410+ Tính: 1,0 8 16428+ 522410 32 42410+ (22) + ( ) 2212020+ 428 = 428 = 12112 0,25 8 16+ (2234) + ( ) 22+ 1 2 220100 1( + ) = 0,25 212100 2 1( + ) 2 = 28 ==(2244) 0,25 =16 0,25 1323334393103 Tính nhanh : A = −+−++− 1,0 4.99.1414.1919.2444.4949.54 A = 0,25 1 11111111111 = +−+++−++ ++−+ 4 99 1414 1919 2444 4949 54 2a) 1 11111111 1111 = +−−++−−+++−− 0,25 4 9 9 14 14 19 19 24 44 49 49 54 11 = − 0,25 4 54 25 = 0,25 108 111111 Tính nhanh B = +++++ 618366090126 1,0 111111 3 3 3 3 3 3 B = +++++ = + + + + + 618366090126 18 54 108 180 270 378 333333 = +++++ 0,25 3.6 6.9 9.12 12.15 15.18 18.21 2b) 111111111111 = −+−+−+−+−+− 3 6 6 9 9 12 12 15 15 18 18 21 0,25 11 = − 0,25 3 21 7− 1 6 2 = = = 21 21 7 0,25
3. Cho 2x = 8y+1 và 9y = 3x – 9 (x, y N). Tính x - 2y2 1,0 y+1 2x = 8y+1 = (2233333) = =+y+ xy (1) y 0,25 9y = 3x – 9 = 339222= −=y xy (2) 3 ( ) Thay x = 3y + 3 vào (2) ta được: 3y + 3 – 9 = 2y y = 6 0,25 Thay y = 6 vào (1) ta được: x = 3.6 + 3 = 21 0,25 Vậy x - 2y2 = 21 - 2.62 = - 51. 0,25 Tìm a, b, c biết (a – b – 1):(a + b – 1):(a – 1)b = 3 : 7 : 30 2,0 (a – b – 1) : (a + b – 1) : (a – 1)b = 3 : 7 : 30 ab−−1 ab +− 1(1)( abab − −−++− 1)( ab 1) a − 1 = = = = 0,5 3 7 30 3+ 7 5 (a - 1 0) 1 (1)1(1)30abaab−−− = == = 66b (a - 1 0) 0,5 30515 a − abaaaaa−−−−−−−−−116111(7)6 = === 3 3535532 − 0,75 −== =aa15.31516 Vậy a = 16, b = 6 0,25 Tìm x, biết: 32645xx−−=− (1) 2,0 2 Vì 3250x −− với mọi x nên từ (1) ta suy ra 4x – 5 0 5 0,25 x (2) 4 157 − − 332320xxx −=−3232xx 48 0,5 2 −−=−−=−32632638xxx Do đó: 326453845xxxx−−=− −=− 0,25 x =−3 38xxx− 453 =−= − 13 (3) 0,5 38(45)713xxx− = −−= x = 7 Từ (1) và (2) suy ra x =12 . Vậy x = . 7 0,5 Số M được chia thành ba phần tỉ lệ với nhau như 0,25: 0,375 : 0,1(3). Tìm số M, biết rằng tổng các bình phương của ba phần 2,0 đó bằng 4564. (Lưu ý: 1,(3) = 4 ) 3 1 3 1 3 4 6 9 32 Ta có 0,25 : 0,375 : 1,(3) = : :== : : 6 :9 :32 0,5 4 8 3 24 24 24 Giả sử M được chia thành ba phần x, y, z. 0,25
4. x y z Theo đề bài ta có: == và x2 + y2 + z2 = 4564. 6 9 32 x y z Đặt = = =k x =6 k , y = 9 k , z = 32 k 6 9 32 0,5 Vì x2 + y2 + z2 = 4564 nên (6k)2 + (9k)2 + (32k)2) = 4564 1141k2 = 4564 = = kk2 42 x y z x y++ z M Với k = 2 thì == = = 2 = =294 M 0,25 6 9 32 6 9++ 32 47 x y++ z M Với k = -2 thì = =−2 =− =−294 M 0,25 6 9++ 32 47 Vậy M − 9 4 ; 9 4  0,25 3 4xx2 1−+ Tìm x Z để biểu thức N = có giá trị nguyên 2,0 x − 2 3(2)2(2)55xxx −+−+ Ta có N = = =++32x 0,5 xx−−22 Với x Z ta có 3x + 2, x - 2 là số nguyên. 5 0,25 N có giá trị nguyên có giá trị nguyên 2 x − 2 − x 2 Ư(5) − x 21;5  0,25 Ta có bảng sau: x - 2 1 -1 5 -5 x 3 1 7 -3 1,0 Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là x 3;1;7 . Cho ABC có ABCACB==300 . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho DBE = 300 . Gọi P là điểm trên cạnh BC sao cho BP = BD. Vẽ PQ vuông góc với CD. a) Chứng minh rằng AEB là tam giác vuông. 6,0 111 b) Chứng minh rằng =+. BEBCBD222 c) Chứng minh rằng EB = EQ. d) So sánh hai đoạn thẳng AE và AQ. 4 a) 2,0
5. CD Ta có A B C A== C B 300 và AD = AC nên AB = AC = AD = 0,5 2 ABC và ABD cân tại A ABCACBABDADB==; 110,5 +=+++==ABCABDABCACBABDADB .1809000 22( ) CBD vuông tại B =−=−=CBECBDDBE 903060000 0,5 0 0 0 0 0 BEC =180 − CBE − C = 180 − 60 − 30 = 90 0,5 Vậy AEB vuông tại E b) 1,5 Vì CBD vuông tại B, BE ⊥ CD nên BE.CD = BC.BD (= 2SCBD) 0,5 1 CD2 BE2.CD2 = BC2.BD2 = (1) 0,25 B E B222 C B D . CBD vuông tại B CD2 = BC2 + BD2 (Định lí Py-ta-go) (2) 0,25 1 BCBD22+ 111 Từ (1) và (2) suy ra = =+ 0,5 BEBCBD222 . BEBCBD222 c) 1,5 Vẽ PK ⊥ BE (K BE ). Xét EBD ( BED = 900 ) và KPB ( PKB = 900 ) có: BA = BP (giả thiết), DBEBPK= (vì cùng phụ với góc KBP) 0,5 Do đó = (cạnh huyền – góc nhọn) BE = PK (hai cạnh tương ứng) (3) Ta có: PK ⊥ BE và QE BE nên KP // EQ =KPE QEP 0,25 Xét KPE ( PKE = 900 ) và QEP ( EQP = 900 ) có: PE (cạnh chung), KPEQEP= (chứng minh trên) 0,5 Do đó = (cạnh huyền – góc nhọn) KP = EQ (hai cạnh tương ứng) (4) Từ (3) và (4) suy ra EB = EQ 0,25 d) 1,0 CBD vuông tại B có C = 300 nên D = 600 Mà BAD=18000 − BAC = 60 nên BAD đều BE và đường cao của tam giác đều BAD, suy ra 1 0,5 AE = AD = AB > BE ( BAE vuông tại E nên AB > AE) 2 AE > EQ (EB = EQ, theo câu c)) (5) AQ = EQ – AE < EQ - EQ AQ < EQ (6) 0,5 Từ (5) và (6) suy ra AE < AQ.
6. 2016201720182019 1111 So sánh A = +++ và B = ++++ 2,0 2017201820192016 891063 2018201920202021 A = +++ 2019202020212018 1113 = 1111−+−+−++ 2019202020212018 111111 = 3+−+−+− 201820192018202020182021 11 11 11 11 1,0 − 0 ; − 0 ; 2018 2019 20182019 2018 2020 20182020 11 11 − 0 2018 2021 20182021 111111 Suy ra: 3+−+−+− > 3 201820192018202020182021 5 Do đó A > 3 (*) B = 1111111111 = + +++++++++++ (1) 89 101516 1731323363 111111111 +++ +++= 1 1 +++ (2) 89158888915 8ôs hang 111111111 1,0 +++ +++= 1 1 +++ (3) 161731161616161731 16s ô hang 111111111 +++ +++= 1 1 +++ (4) 323363323232323363 32s ô hang Từ (1), (2), (3), (4) suy ra B B. Chú ý: 1. Trên đây chỉ là một cách giải. Các cách giải khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. 2. Bài hình, nếu không có hình vẽ hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm. 3. Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm. Các điểm thành phần chấm đến 0,25đ. Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu và không làm tròn.