Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Việt Trì (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Việt Trì (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 VIỆT TRÌ CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022- 2023 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có: 03 trang) Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) 33 − 32  Câu 1. Giá trị biểu thức −+−  +  bằng 54  4 5  13 A. −2. B. 2. C. −1. D. . 15 −−3 3  20 4 2  20 Câu 2. Giá trị biểu thức + :: ++  bằng 7 5  21 7 5  21 A. −2. B. 0. C. −1. D. 1. 3 21 Câu 3. Giá trị x trong tỉ lệ thức = bằng x −1 16 16 23 −23 −16 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 xyz Câu 4. Bộ số ( xyz;;) thỏa mãn = = và xyz−+=36 là 567 A. (30;36;42) . B. (30;− 36;42) . C. (30;36;− 42) . D. (−30;36;42) . ac Câu 5. Cho tỉ lệ thức = với abcd,,,≠ 0 thì bd 32ad 33bd 5ab ad A. = . B. = . C. = . D. = . 23cb ac 5dc 22bc Câu 6. Cho xyz2++= 220. Giá trị biểu thức Axx=2( −+1) yx 22( −+ 1) zx( −− 11) bằng A. −2. B. 1. C. 0. D. −1. Câu 7. Cho hai đa thức fx( ) =34 x2 +− x và gx()=− 3 x2 −+ x 3 thì f( x) + gx( ) là A. −6xx2 −− 2 7. B. 1. C. 2x + 1. D. −1. Câu 8. Rút gọn biểu thức A=(2 x + 346)( − x) −−( 63 xx)( 4 + 2) ta được A. A = 0. B. Ax= −28 . C. Ax= 28 . D. Ax=242 − 28 x . Câu 9. Xác suất khi gieo một con xúc xắc sáu mặt để được mặt hơn 4 chấm bằng 1 1 1 A. 2. B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅ 2 3 6 Câu 10. Cho tam giác ABC có AB=80 , = 70 . Đường phân giác AD và CE cắt nhau tại I (,)D∈∈ BC E AB . DIE bằng A. 125 . B. 115 . C. 65 . D. 55 . Trang 1/3
2. Câu 11. Cho ∆=∆ABC MNP biết AB+= AC15 cm và MN−= MP7. cm Khi đó MN bằng A. 13cm . B. 12cm . C. 11cm . D. 4.cm Câu 12. Cho ∆DEF , ∆PQR có DE= PQ . Điều kiện để ∆=∆DEF PQR là A. DF= QR;. D = P B. DF= PR;. D = P C. E = RD;. = P D. EF= QR;. E = P Câu 13. Cho ∆ABC có BC =60 , = 50 . Kẻ tia phân giác BD (D∈ AC). Khẳng định nào sau đây đúng? A. AD> AB. B. AB> BD. C. BD> BC. D. BD> AB. Câu 14. Cho ∆ABC có AB ECB . B. DBC < ECB . C. DBC = ECB . D. DBC ≤ ECB . x − 6 Câu 15. Cho D = . Tổng các giá trị nguyên của x để D có giá trị nguyên bằng x + 3 A. −18. B. −24. C. 12. D. −14. 1 Câu 16. Anh đọc quyển sách trong hai ngày. Ngày thứ nhất Anh đọc được quyển sách. Ngày thứ hai 7 7 Anh đọc được số trang sách còn lại của quyển sách đó. Hỏi sau hai ngày Anh đọc được bao nhiêu 12 phần quyển sách? 61 1 9 11 A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅ 84 2 14 14 II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) xxxx++++23 22 21 20 a) Tìm x biết +−− =0. 2021 2022 2023 2024 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 b) Thực hiện phép tính: − . (22 .3) 6++ 8 45 .3 (125.7)3 5 9 .14 3 c) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn: 2xy+ 6 x2 −− y 3 x = 7. Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho abcd, , ,≠ 0, bcd+− ≠0; b33 + c ≠ d 3 thỏa mãn b22= ac,. c = bd Chứng minh rằng: 3 a333+ b − c abc +− = ⋅ b33+ c − d 3 bcd +− b) Cho abcd, , ,≠ 0; a −+= b c 0; c = 5 d . a  b  c  ab−  Tính giá trị của biểu thức: A =−−+1  1  1  − 4.  b  c  ad   c) Cho đa thức f() x= ax32 + bx +−8 x 6. Tìm a, b để fx() chia cho x − 2 dư 14 và fx() chia cho x +1 dư −16. Trang 2/3
3. Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE, CF( E∈∈ AC ,. F AB) Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MF lấy điểm D sao cho MF= MD. a) Chứng minh CD= BF và CD// BF . b) Lấy điểm P bất kì nằm giữa B và F , trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho MP= MQ. Chứng minh DQC,, thẳng hàng. c) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K , trên tia đối của tia FE lấy điểm I sao cho EK= FI. Chứng minh tam giác MIK cân. Câu 4. (1,0 điểm) Xét các số thực abc,, thỏa mãn −≤1abc , , ≤ 2; a + b + c = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pabc=++222. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Trang 3/3
4. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 VIỆT TRÌ CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022- 2023 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (HDC có: 06 trang) I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 ĐA C B B A B D D B Câu 9 10 11 12 13 14 15 16 ĐA C A C B B A A C II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 1. (3,0 điểm) xxxx++++23 22 21 20 a) Tìm x biết +−− =0. 2021 2022 2023 2024 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 b) Thực hiện phép tính: − . (22 .3) 6++ 8 45 .3 (125.7)3 5 9 .14 3 c) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn : 2xy+ 6 x2 −− y 3 x = 7. Phần Nội dung Điểm xxxx++++23 22 21 20 a) Tìm x biết +−− =0. 1, 0 2021 2022 2023 2024 xxxx++++23 22 21 20 +−− =0. 2021 2022 2023 2024 0,25 xxxx++++23  22  21  20  =>++1  +− 1  +− 1  += 10  2021  2022  2023  2024  xxxx++++2044 2044 2044 2044 => +−−=0 0,25 2021 2022 2023 2024 1111 =>( x +2044) +−− =0 0.25 2021 2022 2023 2024 1111 => x +=2044 0 (vì +−−≠0 ) 2021 2022 2023 2024 0,25 => x = −2044 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 b) Thực hiện phép tính: − . 1,0 (22 .3) 6++ 8 45 .3 (125.7)3 5 9 .14 3 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 Ta có : − (22 .3) 6++ 8 45 .3 (125.7)3 5 9 .14 3 0,25 212 .3 5−− 2 12 .3 4 5 10 .7 3 5 10 .7 4 = − 212 .3 6++ 2 12 .3 5 5 9 .7 3 5 9 .7 3 .2 3 212 .3 4 ( 3−− 1) 510 .7 3 ( 1 7) = − 0,5 212 .3 5 ( 3++ 1) 59 .7 3 ( 1 8) Trang 1/3
5. 15.(− 6) 21 7 =−==⋅ 0,25 6 9 62 c) Giải phương trình nghiệm nguyên 2xy+ 6 x2 −− y 3 x = 7. 1,0 2xy+ 6 x2 −− y 37 x = ⇒(21x −) y + 3217 xx( −=) 0,25 ⇒−(21x)( yx += 3) 7 Vì x,y∈ nên 2x− 1, y +∈ 3x 0,25 Mà 7==−− 1.7( 1) .( 7) nên ta có bảng 2x-1 1 7 -1 -7 y+3x 7 1 -7 -1 x 1 4 0 -3 0,25 y 4 -11 -7 8 (tm) (tm) (tm) (tm) Vậy (x; y) ={(1; 4) ;( 4; − 11) ;( 0; −− 7) ;( 3;8)} . 0,25 Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho abcd, , ,≠ 0, bcd+− ≠0; b33 + c ≠ d 3 thỏa mãn b22= ac,. c = bd Chứng minh rằng: 3 a333+ b − c abc +− = ⋅ b33+ c − d 3 bcd +− b) Cho abcd, , ,≠ 0; a −+= b c 0; c = 5 d . a  b  c  ab−  Tính giá trị của biểu thức: A =−−+1  1  1  − 4.  b  c  ad   c) Cho f() x= ax32 + bx +−8 x 6. Tìm a, b để fx() chia cho x − 2 dư 14 và fx() chia cho x +1 dư −16. Phần Nội dung Điểm Cho abcd,,, khác 0, bcd+− ≠0; b33 + c ≠ d 3 thỏa mãn a) 333 3 1,5 22 a+ b − c abc +− b= ac,. c = bd Chứng minh rằng: = ⋅ b33+ c − d 3 bcd +− ab bc Ta có b2 = ac ⇒=; c2 = bd ⇒=. 0,25 bc cd abc abc333 Do đó = = ⇒== 0,25 bcd bcd33 3 abc abc333 Đặt = = = k ⇒===k3 0,25 bcd bcd33 3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có a3 b 3 c 3 abc 3+− 33 0,25 = = = = k3 (1) b3 c 3 d 3 bcd 333+− Mặt khác, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 3 a b c abc+− abc+− 3 0,25 = = = = k ⇒=k (2) b c d bcd+− bcd+− Trang 2/3
6. 3 a333+ b − c abc +− Từ (1) và (2) ta có = (đpcm). 0,25 b33+ c − d 3 bcd +− Cho abcd, , ,≠ 0; a −+= b c 0; c = 5 d . Tính giá trị của biểu b) a  b  c  ab−  1,5 thức: A =−−+1  1  1  − 4.  b  c  ad   a  b  c  ab−  Ta có A =−−+111    − 4  b  c  ad   0,25 bacbacab−−+−     =    − 4  bcad     Mà abc−+=⇒−=0 bac 0,25 Tương tự, ta có c−=− b aa;; += c ba −=− b c 0,25 c −− ab   c  Ta có A =    − 4  0,25 bcad     −−abc5 d = − 4 0,25 abc d =−−=( 1.) ( 9) 9 0,25 Cho f() x= ax32 + bx +−8 x 6. Tìm a, b để fx() chia cho c) 1,0 x − 2 dư 14 và fx() chia cho x +1 dư −16. Vì f() x= ax32 + bx +− 8 x 6 chia cho x − 2 dư 14 nên fx() có dạng: fx()=−+( x 2) gx( ) 8 Ta có fg(2)=−+( 2 2) ( 2) 14 0,25 ⇒ab.232 + .2 + 8.2 −= 6 14 ⇒+=8ab 4 41( ) Vì f() x= ax32 + bx +− 8 x 6 chia cho x +1 dư −16 nên fx() có dạng: fx( )=+−( x 1) hx( ) 16 Ta có fh(− 1) =−+( 1 1) ( − 1) − 16 0,25 32 ⇒−+−+−−=−ab.1( ) .1( ) 8.16( ) 16 ⇒−ab + =−2 ⇒ ba = − 2 (2) Thay (2) vào (1) ta có 84aa+( −= 24) 0,25 ⇒12a −= 8 4 ⇒=a 1 Thay a =1 vào (2) ta có b =−=−12 1 0,25 Vậy ab=1; = −1. Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE, CF( E∈∈ AC ,. F AB) Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MF lấy điểm D sao cho MF= MD. a) Chứng minh CD= BF và CD// BF . Trang 3/3
7. b) Lấy điểm P bất kì nằm giữa B và F , trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho MP= MQ. Chứng minh DQC,, thẳng hàng. c) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K , trên tia đối của tia FE lấy điểm I sao cho EK= FI. Chứng minh tam giác MIK cân. Phần Nội dung Điểm Hình vẽ A K E F I P B C M Q D a) Chứng minh CD= BF và CD// BF . 2,0 Xét ∆BMF và ∆CMD Có: BM= CM ( Vì M là trung điểm của BC ) 0,75 BMF = CMD (Hai góc đối đỉnh) MF= MD( gt) ⇒∆BMF =∆ CMD( c − g − c) 0,25 ⇒=CD BF 0,25 Và MBF = MCD mà chúng ở vị trí so le trong 0,5 ⇒ CD// BF 0,25 b) Lấy điểm P bất kì nằm giữa B và F trên tia đối của tia MP lấy 1,0 điểm Q sao cho MP= MQ. Chứng minh DQC,, thẳng hàng. Xét ∆BMP và ∆CMQ Có: MB= MC (Vì M là trung điểm của BC ) 0,5 BMP = CMQ ( hai góc đối đỉnh) Trang 4/3
8. MP= MQ( gt) ⇒∆BMP =∆ CMQ( c − g − c) 0,25 ⇒=MBP MCQ mà chúng ở vị trí so le trong ⇒ BP// CQ 0,25 Mà CD// BF theo tiên đề ơclit⇒ CQD,, thẳng hàng c) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K , trên tia đối của tia FE lấy 1,0 điểm I sao cho EK= FI. Chứng minh tam giác MIK cân. Xét ∆BFC và ∆DCF Có: BF= CD ( theo a)) 0,25 BFC = DCF = 90 ( Vì BF// CD và BF⊥ CF ) CF cạnh chung ⇒∆BFC =∆ DCF( c − g − c) ⇒ BC = DF 0,25 1 Mà DF= 2 FM (Vì M là trung điểm FD )⇒=FM BC (1) 2 1 Chứng minh tương tự: ME= BC (2). Từ (1) và (2) 2 0,25 ⇒MF = ME ⇒∆ MFE cân tại M ⇒MFE = MEF ⇒= MFI MEK (kề bù) Xét ∆MFI và ∆MEK Có: MF= ME (chứng minh trên) MFI = MEK (chứng minh trên) 0,25 FI= EK( gt) ⇒∆MFI =∆ MEK( c − g − c) ⇒ MI = MK ⇒∆ MIK cân tại M Câu 4. (1,0 điểm) Xét các số thực abc,, thỏa mãn −≤1abc , , ≤ 2; a + b + c = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pabc=++222. Phần Nội dung Điểm a +≥10 Vì −≤1abc ,, ≤ 2 ⇒ a −≤20 0,25 ⇒(a +1)( a − 2) ≤⇒ 0 a22 − 2 aa +−≤⇒ 20 a ≤+ a 2 0,25 Chứng minh tương tự:  2 bb≤+2 222 0,25 ⇒a + b + c ≤+++= abc66  2 cc≤+2 Trang 5/3
9. Dấu đẳng thức sảy ra khi:(abc; ;) =−−( 1; 1; 2 ) và các hoán vị 0,25 Vậy Max P=6 ⇔( abc ; ;) =−−( 1; 1; 2 ) và các hoán vị Trang 6/3