Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Việt Trì (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Việt Trì (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VIỆT TRÌ CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có: 03 trang) Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi. I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (16 câu; 8,0 điểm) xxx 11222 Câu 1. Cho ab; với x 1. Giá trị của biểu thức xx1 2 x 2 ab P bằng 1 ab x A. −1 . B. 1. C. x . D. . 2 Câu 2. Cho x 123 . Giá trị của biểu thức Bxxxx5432 231979 bằng A. 1979 . B. 1982 . C. 2023 . D. 2024 . Câu 3. Biết đồ thị hàm số ymxm 121 luôn đi qua điểm cố định A . Đường thẳng d đi qua A và song song với đường thẳng dyx1 :2023 có phương trình A. yx=−+ 10 . B. yx=−− 10 . C.yx=−+ 1 . D. yx=+2023 . Câu 4. Diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng (dyx) :416=− và hai trục tọa độ bằng A. 32 đvdt . B.64 đvdt . C.16 đvdt . D.128 đvdt . Câu 5. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trìnhx2 4 m 1 x 2 m 4 0 có hai nghiệm xx12, thỏa mãn xx1217 là A. 8 . B. 4 . C. −4 ;4 . D. −8;8 . 21m Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số yx1 2 đồng biến khi m 2 x 0? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
2. Câu 7. Cho hình bình hành ABCDcó AC là J đường chéo lớn. Gọi IJ, theo thứ tự là các hình chiếu của C trên các đường thẳng AD và AB . Khẳng định nào sau đây đúng? B C A. IJACBAD.sin . B. IJ AC.cos BAD C. IJACBAD.tan . A D. IJ AC.cot BAD . D I Câu 8. Cho tam giác A B C nhọn nội tiếp đường tròn O;2 c m . Khẳng định đúng là 2 2 A.SABC 8 tan A .tan B .tan C cm . B.SABC 8 sin A .sin B .sin C cm . 2 C.SABCcmABC 8 cot.cot.cot . 2 D.SABCcmABC 8 cos.cos.cos . xmym 1 Câu 9. Cho hệ phương trình (m là tham số). Giá trị của để hệ có nghiệm mxym 31 duy nhất (xy; ) sao cho xy. đạt giá trị nhỏ nhất là A. m = 2. B. m = 0 . C. m = 1. D. m =−1. Câu 10. Cho hình vuông AB CD có cạnh bằng 2 . Gọi E là trung điểm của AB , F là trung điểm của BC ; I là giao điểm của AF và DE ; H là giao điểm của BD và . Diện tích tứ giác B E I H bằng 4 7 11 13 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Câu 11. Cho tam giác . Lấy điểm M trên cạnh BC ( khác BC, ). Qua BC, dựng các đường thẳng song song với AM cắtAC, AB thứ tự tại PQ, . Khẳng định đúng là 1 2 1 1 1 2 A. . B. . AM PB QC AM PB QC 1 2 1 1 1 1 C. . D. . AM PB QC AM PB QC Câu 12. Cho đường tròn OR; có đường kính AB và dây CD thỏa mãn COD 90 . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng tại M (D nằm giữaC và M ) và OMR 2 . Khẳng định đúng là
3. C R ( 142− ) A. MD = . B. 2 D R 142+ M B ( ) A O MD = . 2 R ( 72+ ) R ( 71− ) C. MD = . D. MD = . 2 2 x 2 Câu 13. Trên Parabol Py: lấy các điểm PQ; có hoành độ lần lượt là 2 và 4 . Biết 4 M là điểm nằm trên trục Ox sao cho MP MQ nhỏ nhất. Tọa độ điểm là 4 1 A. ;0 . B. ;0 . C. 4;0 . 5 4 4 D. ;0 . 3 Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật A B C D. ABC1111 D có ABAD1;2 và đường chéo AC1 6 . Thể tích của hình hộp đã cho bằng A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . Câu 15. Một công ty cổ phần cấp nước áp dụng định mức tiêu thụ nước mỗi người là 4m 3 /người/tháng và đơn giá được cho bởi bảng sau: Lượng nước tiêu thụ (m 3 ) Giá cước (đồng/m 3 ) Đến 4m 3 /người/tháng 5300 Trên /người/tháng đến 6m 3 /người/tháng 10200 Trên 6m 3 /người/tháng 11400 Gia đình bạn An có 9 người. Trong tháng 7 năm 2017, gia đình bạn An phải trả tiền nước theo hóa đơn là 653430đồng (hóa đơn này bao gồm thuế giá trị gia tăng (VAT) 5% và 10% phí bảo vệ môi trường). Lượng nước máy mà nhà bạn An đã sử dụng trong tháng 7 năm 2017 là A. 66m 3 . B. 68m 3 . C. 70m3 . D. 71m3 . Câu 16. Từ điểm M ngoài đường tròn Ocm;6 vẽ cát tuyến MABA BO, . Biết MOcm12 . Tích MAMB. bằng A. 144cm 2 . B. 108cm 2 . C. 180cm 2 . D. 72cm2 . II. PHẦN TỰ LUẬN (4 câu; 12,0 điểm) Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên xy, thỏa mãn yxyxy3 35 . b) Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số tự nhiên n để pn 144 là một số chính phương. Câu 2 (4,0 điểm).
4. abbcca111 a) Cho các số thực a b,, c khác 0 và thỏa mãn . Chứng minh bca rằng a b c 1 hoặc a b c . b) Giải phương trình: 43()12(1)xxxxx223 . 223xyxy c) Giải hệ phương trình: . xyxy332 4364 Câu 3 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn OR; đường kính BC . Điểm A di động trên nửa đường tròn đã cho ( khác BC, ), vẽ AH vuông góc với tại H . Đường tròn đường kính cắt AB AC, và nửa đường tròn lần lượt tại D E,, M . Đường thẳng AM cắt đường thẳng tại N . a) Chứng minh rằng AME ACN và 3BC2 3 BD 2 3 CE 2 . b) Chứng minh rằng ba điểm D,, E N thẳng hàng. c) Xác định vị trí của điểm trên nửa đường tròn đã cho để tam giác ABH có diện tích lớn nhất. Câu 4 (1,0 điểm). Xét các tam giác có chu vì bằng 1 và độ dài ba cạnh là x y,, z . Tìm giá trị lớn 4441 xyz nhất của T . xyyzzxxyzyzzxxy 2222 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
5. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH LỚP 9 VIỆT TRÌ CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2023 - 2024 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (HDC gồm 7 trang) PHẦN I. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) . Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp án B B C A C B A B Câu 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B B D A A C D B PHẦN II. ĐÁP ÁN PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Nội dung Điểm Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên xy, thỏa mãn yxyxy3 35 3,0 b) Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương n để tổng pn 144 là một số chính phương. a) Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn 1,5 Ta có yxyyx3 53 0,25 yyyyxyxy322 339382429 2 yyyx33829 0,25 2 Vì xy, nên y3 , y 3 y x 8 là các ước của 29 0,25 2 y3 , y 3 y x 8 1; 29 0,25 Xét bảng y 3 29 1 1 2 yyx 38 1 1 0,25 y 26 2 4 32 x 605 11 65 1129 Vậy xy;605; 26 ; 11;2 ; 65;4 ; 1129;32 0,25 b) Tìm tất cả các số nguyên tố và các số nguyên dương để tổng là một số chính 1,5 phương. Trang 1/7
6. nn2 Giả sử pkkpkk1441212 0,25 kp12 x Do đó xynxyxy ;,; kp12 y 0,25 xyyxyy y 1231 ppppp 24124 là ước dương của 241;2;2;2;3p 0,25 Từ đó có các TH sau: - Khi pykpnny 1013;5;2;2;5 p 0,25 - Khi pyyx2121311loại - Khi pyyx222 2 2 7 loại 0,25 - Khi pypxnyx23;2245;8;233 p - Khi pypxnyx31;3392;4;311 p 0,25 Vậy ta có np;4;3;8;2;2;5 Câu 2 (4,0 điểm). abbcca111 a) Cho các số thực a b,, c khác 0 và thỏa mãn . Chứng minh rằng bca abc 1 hoặc abc . 4,0 b) Giải phương trình: 43()12(1)xxxxx223 223xyxy c) Giải hệ phương trình: xyxy332 4364 a) Cho các số thực khác và thỏa mãn . Chứng minh rằng 1,0 hoặc . abbcca111111 Ta có abc 0,25 bcabca b c c a a b Do đó a b;; b c c a bc ac ab 0,25 ()()()a b b c c a ()()()a b b c c a a2 b 2 c 2 0,25 2 2 2 (a b )( b c )( c a )( a b c 1) 0 a b b c c a 0 đpcm. 0,25 abc 1 Trang 2/7
7. b) Giải phương trình sau 43()12(1)xxxxx223 1,5 b) ĐKXĐ: x 1. Khi đó 43()12(1)xxxxx223 0,25 (1)222310xxxxx 2 x 1 222310xxxx2 Xét phương trình: 22 2223102312(1)0xxxxxxxx 0,25 xxxx21210 xx211 212xx 0,25 x 0 Ta có 1222 x xx2 440 0,25 x 0 117 Ta có 2 x 410xx2 8 0,25 117 Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là x 1;222; . 8 0,25 223xyxy c) Giải hệ phương trình sau xyxy332 4364 1,5 (1)(21)xy 2 Hệ đã cho viết lại như sau: 13 (1)(21)3(1)(21)xyxy 332 5 22 0,25 Đặt uxvy 1;21 Khi đó ta có hệ phương trình: uv 2 uv 2 0,25 13 3 3 2 u3 v 335 u 2 v 2u v 6 u 3 v 10 22 Trang 3/7
8. Từ hệ phương trình ban đầu ta nhẩm được nghiệm là xyuv 12,1 (2)2(1)uvv 0,25 Do đó ta sẽ phân tích hệ về dạng: 2(2)(1)(1)(2)uuvv 22 2 ( 1 ) v Vì ta luôn cóv 0 nên từ phương trình trên ta rút ra u 2 v Thế xuống phương trình dưới ta được: 8(1)v 2 0,25 (1)(1)uvvvuvv (2)(1)8(1)(2)0222 v2 v 1 8(1)(2)0uvv 2 Với vuxy121 v 2 0,25 Với 8(1)(2)0uvv 2 . Ta lại có uvv uvu2(1)21 v Thế lên phương trình trên ta có: 8(2)v v23(2)02802 vvvv v 1 uxy 1;2; 2 0,25 1 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là xy;1;1 ;2; 2 Câu 3 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn OR; đường kính BC . Điểm A di động trên nửa đường tròn đã cho ( khác BC, ), vẽ AH vuông góc với tại H . Đường tròn đường kính cắt AB, AC và nửa đường tròn lần lượt tại DEM,, . Đường thẳng AM cắt đường thẳng tại N . 4,0 a) Chứng minh rằng AMEACN và 333BCBDCE222 ; b) Chứng minh rằng ba điểm DEN,, thẳng hàng; c) Xác định vị trí của điểm di động trên nửa đường tròn đã cho để tam giác ABH có diện tích lớn nhất. Trang 4/7
9. A E J K M I D N B H O C a) Chứng minh rằng A M E A C N và 333BCBDCE222 ; 1,5 Từ giả thiết A MH Elà tứ giác nội tiếp 0,25 AMEAHE 1 (cùng chắn AE ) 0,25 Mặt khác AHE 90 (góc nội tiếp chắn nửa ĐT) Do đó EHCACN 902 0,25 Ta có AHE ACN 90 3 (do AH BC ) Từ 1 , 2 , 3 AMEACN đpcm. 0,25 Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông suy ra 4 2 BH BD 62 BA2 22BA3 BA 0,25 4 BD BD 4 BA BC 4 3 4 BH 2 BC BC 2 CA2 Chứng minh tương tự 3 CE 2 5 3 BC 4 0,25 CA2 AB 2 BC 2 Theo ĐL Py-ta-go và từ 4 , 5 3BD2 3 CE 2 3 BC 2 đpcm. 33BC44 BC b) Chứng minh rằng ba điểm DEN,, thẳng hàng; 1,5 Gọi IK; thứ tự là giao điểm của DE với AHAO; 0,25 Chỉ ra được ADHE là hình chữ nhật I là trung điểm của AH, DE là tâm của đường tròn đường kính AH 6 0,25 Mặt khác O là tâm của nửa đường tròn đường kính BC 7 Từ 6 , 7 OI là trung trực của AM OI AM OI AN 8 0,25 Trang 5/7
10. Ta lại có A H B C 9 0,25 Từ 8 , 9 I là trực tâm tam giác AONNIAO 10 Chỉ ra được 0,25 IAEIEA OACOCAOCAIAEIEAOACDEAO;9011 Từ 10,11, DENI trùng nhau D,, E N thẳng hàng đpcm. 0,25 c) Xác định vị trí của điểm A di động trên nửa đường tròn đã cho để tam giác A B H có diện tích lớn nhất. 1,0 1 1 3 BH Ta có S AH BH HB HB HC HB HC 0,25 ABH 2 2 2 3 Theo BĐT AM-GM ta có 332 BH 0,25 SHBHCSHBRBH.2do H B H C R 2 ABHABH 4343 Theo BĐT AM-GM ta có 221 2223 HBRBHHBRBHRHBRBHR. 22. 2 2 0,25 332 3332 3333 Do đó SRSR . 22 ABHABH 428 3 0,25 Dấu đẳng thức xảy ra khi BHRH là trung điểm OC 2 Vậy khi là giao điểm trung trực của với nủa ĐT đã cho. Câu 4 (1,0 điểm). Xét các tam giác có chu vì bằng 1 và độ dài ba cạnh là x y,, z . Tìm giá trị lớn 4441 xyz 1,0 nhất của T . xyyzzxxyzyzzxxy 2222 Ta có 2 2 2 4 4 4 1 x y z T x y y z z x2 xyz 2 2 2 2 4 4 4 x y z x y z x y y z z x2 xyz 4 4 4 xy yz zx 0,25 x y y z z x xyz 4 1 4 1 4 1 1z z 1 x x 1 y y 5x 1 5 y 1 5 z 1 x x2 y y 2 z z 2 Trang 6/7
11. 51 1 Ta chứng minh BĐT phụ 183 với 0 2 2 2 2 0,25 51 51183 3121 Thật vậy 18300 221 BĐT này luôn đúng với nên BĐT phụ được chứng minh 0,25 Áp dụng ta có TxyzT1899 . 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 3 0,25 1 Vậy max9Txyz . 3 Hết Lưu ý: - Chỉ cho điểm tối đa với những bài làm chính xác, bố cục hợp lý, trình bày rõ ràng, đủ nội dụng; - Điểm toàn bài là điểm trắc nghiệm và tự luận, không làm tròn (điểm lẻ tự luận 0,25;điểm trắc nghiệm theo cấu trúc). - Khuyến khích những bài làm sáng tạo, thể hiện quan điểm của học sinh (mở), cách diễn đạt khác mà vẫn đảm bảo nội dung theo yêu cầu./. Trang 7/7