Đề thi chọn học sinh giỏi cấp THCS môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường TH và THCS Tây Tiến (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp THCS môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường TH và THCS Tây Tiến (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN MỘC CHÂU CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG TH&THCS TÂY TIẾN Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2023 - 2024 CỤM CÁC TRƯỜNG TRÊN ĐỊA BÀN THỊ TRẤN MỘC CHÂU Môn Thi: TOÁN. Ngày thi: 16.11.2023 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) ( Đề gồm 01 trang ) Bài 1.(5 điểm) xx22+ 1) Cho biểu thức: P =++ xxxxxxx−+−+ 2(1)(2) a) Rút gọn P . b) Tính P khi x =+3 2 2 . c) Tìm giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. 2) Cho hàm số y = mx - 2m -1 ( m 0 ) a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với các trục Ox , Oy. Xác định m để diện tích tam giác AOB bằng 4 ( đvdt ) Bài 2.(3 điểm) a) Tìm các số nguyên xy; thỏa mãn: y+2 2xy - 3x - 2 = 0 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 2n + 12 là số chính phương Bài 3.(4 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 2022x - 2021 = 2 2024x - 2023 xyz6++= b) Giải hệ phương trình: 333 xyz3xyz++= Bài 4. (6 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R). c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Bài 5.(2 điểm) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2 xyz2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ++ y+ z z + x x + y Hết
2. UBND HUYỆN MỘC CHÂU CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG TH&THCS TÂY TIẾN Độc lập – Tự do – Hạnh phúc HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2023 - 2024 CỤM CÁC TRƯỜNG TRÊN ĐỊA BÀN THỊ TRẤN MỘC CHÂU (Gồm 5 trang) Bài Nội dung Điểm 1. a) Với x > 0; x1 , ta có: 0,25 x 2 x+ 2 P = + + x( x− 1) x( x + 2) x( x − 1)( x + 2) x( x+ 2) + 2( x − 1) + x + 2 x x + 2x + 2 x − 2 + x + 2 0,25 == x( x− 1)( x + 2) x( x − 1)( x + 2) x x+ 2x + 2 x + x x( x + 1)( x + 2) x + 1 = = = x( x− 1)( x + 2) x( x − 1)( x + 2) x − 1 0,5 1.b) x = 3 + 22x =2 + 22 +1 =(2 +1)=2 +1 2 0,5 ( x1)21++ +++ 1222(12) P12=== + ( x1)21−+ − 122 0,5 1.c) ĐK: x0;x1 : x1x122+−+ 0,25 P1===+ x1x1x1−−− 1 (5đ) Để P nhận giá trị nguyên thì x1− là ước của 2. 0,25 Ư(2)={-1; 1; -2; 2} Nếu = 1 = =x2x4 (TM) Nếu = -1 x = 0 x = 0 (KTM) Nếu = 2 = =x3x9 (TM) 0,25 Nếu = -2 = −x1(Vô lí) 0,25 Vậy với x = 4 hoặc x = 9 thì P nhận giá trị nguyên 2.a) Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M( x 0 , y 0 ) với mọi m. Ta có: y = mx - 2m - 1 với mọi m mx - 2m - 1 - y = 0 với mọi m
3. m (x 0 - 2 ) - ( y + 1) = 0 với mọi m x 0 - 2 = 0 x = 2 y + 1 = 0 y = -1 0,5 Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm cố định M (2 ; -1 ) 2.b) Đồ thị hàm số cắt hai trục Ox và Oy khi m 0 và - 2m - 1 0 −1 Hay m 0 và m 2 A là giao điểm của đồ thị với trục Ox ta có y = 0 thay vào hàm số ta được x = 2m +1 m B là giao điểm của đồ thị với trục Oy ta có x = 0 thay vào hàm số ta được y = -2m - 1 Vậy A ( ; 0) ; B (0; -2m-1 ) 0,5 Diện tích tam giác là : 1 2m +1 (2m +1) 2 S = OA . OB = . − 2m −1 = 2 m 2 m Mà S = 4 ( 2m + 1 ) 2 = 8 m +) Nếu m > 0, ta có phương trình: 4m2 + 4m + 1 = 8m (2m - 1) 2 = 0 2m - 1 = 0 m = (TM) 0,5 +) Nếu m < 0, ta có phương trình: 4m2 + 4m + 1 = - 8m −+322 m(TM)= 2 4m2 + 12m + 1 = 0 −−322 m(TM)= 2 1322322−+−− Vậy m { ;; } 0,5 222 a) y2xy3x202 +−− = ++=++x2xyyx3x2222 +=++(xy)(x2 1)(x2) * ( ) 0,5 VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên x+1 = 0 x = − 1 y = 1 2 liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. 0,5 x+2 = 0 x = − 2 y = 2 (3đ) Vậy có 2 cặp số nguyên (;)(1;1)xy=− hoặc (;)(2;2)xy=− thỏa mãn 0,5 b) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) 2 2 2 2 (n + 2n + 1) + 11 = k k - (n+1) = 11
4. (k + n + 1) (k - n - 1) = 11 0,5 Nhận thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 0,5 k + n + 1 = 11 k = 6 k - n - 1 = 1 n = 4 (TM) Vậy với n = 4 thì n2 + 2n + 12 là số chính phương 0,5 a) Giải phương trình: x2 + 2022x - 2021 = 2 2 0 2 4 x - 2 0 2 3 2023 ĐK: x 2024 0,25 2 x + 2022x - 2021 = 2 2024x - 2023 x2 - 2x + 1 + 2024x - 2023 - 2 2 0 2 4 x - 2 0 2 3 + 1 = 0 0,25 2 2 (x - 1) + ( 2 0 2 4 x - 2 0 2 3 - 1) = 0 0,5 2023 Do (x - 1)2 0 và ( 2 0 2 4 x - 2 0 2 3 - 1)2 0 với mọi x nên: 2024 xx−==101 x =1 3 0,5 2024202310202420231xx−−=−= 202420231x −= (4đ) =x 1 (thỏa mãn điều kiện). Vậy x =1 là nghiệm của phương trình đã cho. 0,5 xyz61++= ( ) b) 333 xyz3xyz2++= ( ) (2)(xy ++−= )333 z3xyz0 3223 +−−+−=(xy)3x y 3xyz3xyz0 3322 ++−−−=[(xy)z ] 3x y 3xy3xyz0 +(xy ++−++−++= z)[(xy)(xy).z2222 z ] (3x y 3xy3xyz)0 0,5 +(xy +++−−+−+ z)(x2xyyxzyz222 += z ) 3xy(xy z)0 +(xy +++−−+−= z)(x2xyyxzyz222 z3xy)0 (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz) = 0 (3) 0,5 Kết hợp ( 3) với (1): x + y + z = 6 , ta có: 2 2 2 (x+ y + z − xz − yz − xy) = 0 2 2 x2+ 2y 2 + 2z 2 − 2xy − 2xz − 2yz = 0 ( x2 – 2xy + y2) + ( y2 – 2yz + z2) + ( z2 – 2xz + x2 ) =0 ( x – y )2 + ( y – z )2 + ( z – x )2 = 0
5. (xy)0−=2 xy0−= 2 −= −= ==(yz)0yz0xyz (4) 0,5 2 (zx)0−= zx0−= 6 Kết hợp (4) và (1): x + y + z = 6 , ta có: x = y = z = 3 6 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( ; ; ) 3 0,5 M C I K A B O H 0,5 a) Ta có OI ⊥ AC (Đường kính đi qua trung điểm của dây cung), CH AB (gt). Suy ra: CIOCHO90ˆˆ==0 vậy tứ giác CIOH là tứ giác nội tiếp, suy ra C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. b) Xét AOM và COM có: OA = OC = R 1,5 OM là cạnh chung 0,5 AOMCOMˆˆ= (Vì OCM cân tại O nên đường trung tuyến OI đồng 4 thời là đường phân giác) 0,5 (6đ) AOM = COM (c.g.c) MCOMAO90ˆˆ==0 0,5 MCCO⊥ MC là tiếp tuyến của (O; R). 0,5 c) Chu vi tam giác ACB là PABACCB2RACCBACB =++=++ 0,5 Ta lại có: 2 (AC− CB) 0 AC2 + CB 2 2AC.CB 2AC 2 + 2CB 2 AC 2 + CB 2 + 2AC.CB 0,5 2 2AC2+ CB 22 ACCB 22 + ACCB + + 2AC + CB ACCB 2AB ( ) ( ) ( ) (Pitago) AC+ + CB2.4RAC2 CB 2R 2 . 0,5 Đẳng thức xảy ra khi AC = CB C là điểm chính giữa cung AB. Suy ra P2RACB +=+ 2R 22R 12 ( ) , dấu "=" xảy ra khi C là điểm chính giữa cung AB Vậy max PACB =+ 2R( 1 2) khi C là điểm chính giữa cung AB. 0,5
6. Vì x, y, z > 0 ta có: x2 yz+ Áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương và ta được: yz+ 4 xyzxyzx22++ + == 2.2. x 0,5 yzyz++442 (1) . Tương tự ta có: yxz2 + + y(2) xz+ 4 5 2 (2đ) zxy + + z(3) xy+ 4 Cộng (1), (2), (3) ta được: 0,5 xyzxyz222 ++ +++ ++ xyz yzzxxy2+++ xyzxyz222 ++ ++ ++− xyz yzzxxy2+++ 0,5 xyz2++ ++−=−=−=Pxyz2211( ) 22 2 Dấu “=” xảy ra ===xyz 3 Vậy GTNN của P là 1 0,5