Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thị xã môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thị xã Mỹ Hào (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thị xã môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thị xã Mỹ Hào (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ THỊ XÃ MỸ HÀO Năm học 2022-2023 Môn thi: TOÁN 8 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 05/4/2023 (Đề thi gồm 01 trang) 2x− 9 xx ++ 32 4 Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức A = −− xx2 −+56 x − 23 − x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên. Câu 2 (2,0 điểm). a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2 – y2 + 2x – 4y – 3. b) Cho số a thỏa mãn: aa42−14 += 9 0. Tính giá trị biểu thức: Q = aa54+2 − 14 a 3 − 28 aa 2 ++ 9 19 . Câu 3 (2,0 điểm). 9x 2 a) Giải phương trình: x 2 + = 40. (x + 3) 2 b) Tìm giá trị của a, b sao cho đa thức f( x) =++− ax32 bx10 x 4 chia hết cho đa thức gx( ) = x2 +− x 2 Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh: CB.CD = CE. CA. b) Cho AB = m (với m > 0). Tính độ dài đoạn BE theo m. c) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G. GB HD Chứng minh: = . BC AH+ HC 22 Câu 5 (1,0 điểm). Cho 2 số không âm a,b thỏa mãn: a+ b ≤+ ab. Tìm giá trị lớn nhất 4 ab của biểu thức: S.=++5  ab++11 Hết Họ tên thí sinh: . Chữ ký của cán bộ coi thi số 1 Số báo danh: .Phòng thi số:
2. UBND THỊ XÃ MỸ HÀO HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2022 – 2023. Môn thi: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Ngày thi 05/4/2023) I. Hướng dẫn chung. 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Đối với bài hình học, nếu HS có lời giải đúng nhưng không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không được điểm. 2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong hội đồng chấm thi. 3. Không làm tròn điểm dưới mọi hình thức. II. Hướng dẫn cụ thể. CÂU Nội dung Điểm 2x− 9 xx ++ 32 4 Cho biểu thức A = −− xx2 −+56 x − 23 − x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên. a) + ĐKXĐ: x ≠ 2;3 29x−−( xx + 3)( − 3) +( 24 xx +)( − 2) 0,5 A = (x−− 2)(x 3) xx2 +−28 A = 0,25 (x−− 2)(x 3) ( xx+−42)( ) x + 4 CÂU 1 A = = (2,0 điểm) (x−− 2)(x 3)x − 3 0,25 x + 47 b) A = =1 + 0,25 xx−−33 7 Với x nguyên Để A nguyên thì là số nguyên x − 3 0,25 => ( xU−∈3) ( 7) =±±{ 17 ;} Ta có bảng sau: x - 3 1 -1 7 -7 x 4 2 10 -4 0,25 So sánh điều kiện bài toán ta có x∈−{4 ;; 10 4} 0,25 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2 – y2 + 2x – 4y – 3. 42 b) Cho số a thỏa mãn: aa−14 += 9 0. Tính giá trị biểu thức: CÂU 2 Q = aa54+2 − 14 a 3 − 28 aa 2 ++ 9 19 . (2,0 điểm) a) Ta có: P = x2 – y2 + 2x – 4y – 3 1
3. = (x2 + 2x +1) – (y2 + 4y + 4) 0,25 = (x +1)2 – (y + 2)2 0,25 = (x + 1 + y + 2)(x + 1– y – 2) 0,25 = (x + y + 3)(x – y – 1) 0,25 b) Q = aa54+2 − 14 a 3 − 28 aa 2 ++ 9 19 0,25 = (a54+2 a) − ( 14 a 3 + 28 a) 2 +++ (a 9 18 ) 1 = a42 (a+−2 ) 14 a (a ++ 2 ) 9 (a ++ 2 ) 1 0,25 42 =+(aaa2)( − 14 ++ 9) 1 0,25 Do aa42−14 += 9 0 nên thay vào Q ta có: Q =(a. +2011) += 0,25 9x 2 a) Giải phương trình: x 2 + = 40. (x + 3) 2 b) Tìm giá trị của a, b sao cho đa thức f( x) =++− ax32 bx10 x 4 chia hết cho đa thức gx( ) = x2 +− x 2 a) ĐKXĐ: x ≠ −3 3x 3x 3x Khi đó pt ⇔ x 2 − 2x. + ( ) 2 + 2x. = 40 x + 3 x + 3 x + 3 3x x 2 ⇔ (x − ) 2 + 6 = 40 0,25 x + 3 x + 3 x 2 x 2 ⇔ ( ) 2 + 6 − 40 = 0 x + 3 x + 3 2 = x 2 t 4 Đặt t = , ta có: t + 6t - 40 = 0 ⇔ (t - 4)(t + 10) = 0 ⇔  0,25 x + 3 t = −10 x2 CÂU 3 + Với t = 4, ta có: = 4 (2,0 điểm) x + 3 = − 0,25 2 x 2 ⇒ x – 4x – 12 = 0 ⇔  (TM ĐKXĐ) x = 6 x2 + Với t = -10, ta có: = -10 x + 3 0,25 ⇒ x2 + 10x + 30 = 0 ⇔ (x + 5)2 + 5 = 0 (vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {− 2;6} b) Ta có : g( x) = x2 +− x 2=( x − 1)( x + 2) Vì f( x) =++− ax32 bx 10x 4 chia hết cho đa thức gx( ) = x2 +− x 2 0,25 Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) →++−ax32 bx 10x 4=( x+2) .( x-1) .q( x) + Với x1=⇒ ab60 + + = ⇒ b =−− a6 (1) 0,25 + Với x=−⇒ 2 2a − b + 6 = 0 ⇒ b = 2a + 6 (2) 0,25 Thay (1) vào (2) . Ta có : a = - 4 và b = -2 0,25 Vậy a = – 4, b = – 2. 2
4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh: CB.CD = CE. CA. b) Cho AB = m (với m > 0). Tính độ dài đoạn BE theo m. c) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G. GB HD Chứng minh: = . BC AH+ HC Vẽ hình đúng 0,25 a) ∆ CDE đồng dạng ∆CAB (g-g) 0,25 CD CA 0,25 ⇒= CE CB ⇒ CB.CD = CE. CA 0,25 b) Xét ∆ADC và ∆BEC có: CD CA C chung và = 0,25 CE CB => ∆ADC đồng dạng ∆BEC (c.g.c). = = 0 => BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả 0,25 CÂU 4 thiết). (3,0 điểm) Nªn AEB = 450 . Do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 0,25 Suy ra: BE= AB22 = m 0,25 c) Tam giác ABE vuông cân tại A có AM là đường trung tuyến nên tia AM đồng thời là phân giác của góc BAC. GB AB 0,25 => = (Tính chất đường phân giác của tam giác) GC AC AB ED Ta có: =∆∆( ABC DEC) AC DC 0,25 AH ED ED HD Lại có: ED//AH => = => = (do AH = HD) HC CD DC HC GB HD Do đó: = 0,25 GC HC GB HD GB HD ⇒ = ⇒= 0,25 GB++ GC HD HC BC AH + HC 22 Cho 2 số không âm a,b thỏa mãn: a+ b ≤+ ab. Tìm giá trị lớn nhất 4 ab của biểu thức: S.=++5  ab++11 Ta có: a2+≥ 12a,b12ba 2 +≥ ⇒22 + b + 22ab ≥( +) CÂU 5 0,25 (1,0 điểm) Mà: a22+ b ≤+⇒+≤ ab ab2 11 4 Mặt khác với x,y là 2 số dương ta có: +≥ x y xy+ 3
5. Do đó: 0,25 ab 1 1 11 4 0≤ + =− 11 +− = 2 − + ≤ 2 − ≤ 1 a1++ b1 a1 + b1 + a1 ++ b1 a ++ b2 44 ab ab 0,25 Suy ra: +≤⇒++≤+⇒≤1 5 51 S 6 a1++ b1 a1 ++ b1 Dấu “=” xảy ra khi và khi: a= b = 1. 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của S = 6. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a= b1 = . 4