Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD và ĐT Thị xã Sa Pa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD và ĐT Thị xã Sa Pa (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ THỊ XÃ SA PA LỚP 9, NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có 01 trang,05 câu) Ngày thi: 04/01/2020 Câu 1. (2,0 điểm): a) Tìm số tự nhiên n để A = n2012 + n2002 + 1 là số nguyên tố. b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x 2 + 2y 2 + 2xy = y + 2 . Câu 2. (4,0 điểm): xx+ 2 14 Cho biểu thức: P = − . xx++11 x 3 a) Rút gọn P; 8 b) Tìm các giá trị của x để P = ; 9 c) Tìm giá trị lớn nhất của P, giá trị nhỏ nhất của P. (m− 1) x += y 3m − 4 Câu 3. (4,0 điểm): Cho hệ phương trình với tham số m:  x+−( m 1y) = m a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m; b) Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình là các số nguyên; c) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất. Câu 4. (4,0 điểm): 4.1: Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671. xyz1 ++≥ Chứng minh rằng: 2 22 xyz−+2013 yzx −+ 2013 zxy −+ 2013 xyz ++ 2(1− m ) 2 4.2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: yx=. + (với m tham số, m ≠ 2). mm−−22 a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua; b) Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Câu 5. (6,0 điểm): Đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P∈ AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q∈ AE). a) Chứng minh rằng: bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật; b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng; c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh ∆EAO đồng dạng với ∆ MPB và K là trung điểm của MP; d) Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ THỊ XÃ SA PA LỚP 9, NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm, thang điểm gồm có 06 trang) A. Hướng dẫn chấm: - Cho điểm lẻ tới 0,25 điểm. - Tổng điểm toàn bài không làm tròn. - Vẫn cho điểm tối đa nếu học sinh làm chính xác bằng cách khác. B. Đáp án: CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Xét n = 0 thì A = 1 không phải nguyên tố; n =1 thì A = 3 0,25 nguyên tố. Xét n > 1 có A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1 0,25 = n2[(n3)670 – 1] + n.[(n3)667 – 1] + (n2 + n + 1) 1.a) Mà [(n3)670 – 1] chia hết cho n3 - 1, suy ra (n3)670 – 1 chia hết (1 đ) 0,25 cho n2 + n + 1 Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1 Do đó A chia hết cho n2 + n + 1 > 1 nên A là hợp số khi n > 1 0,25 Câu 1 Vậy số tự nhiên cần tìm n = 1. (2 đ) Ta có: 2 x22+ 2y2xyy2 + =+⇔( xy +) =−++ y2 y2 2 0,25 ⇔+(xy) =+( 1y2y)( −) 2 Do (x+ y) ≥∀ 0 x,y nên (1+ y)(2 − y) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ y ≤ 2 . 0,25 1.b) Suy ra y∈−{ 1; 0; 1; 2} (1 đ) 2 Với y = −1, PT trở thành x − 2x +1 = 0 ⇔ x = 1∈ Z Với y = 0 , PT trở thành x2 − 2 = 0 ⇒ x ∉ Z 0,25 2 Với y = 1, PT trở thành x + 2x −1 = 0 ⇒ x ∉ Z Với y = 2 , PT trở thành x2 + 4x + 4 = 0 ⇔ x = −2∈ Z . 0,25 Vậy có 2 cặp (x; y) thỏa mãn đề bài (1;−− 1) ;( 2; 2 ) . T×m ®­îc §K: x ≥ 0 0,25 xx+ 2 14 − . 0,25 (x+ 1)( xx −+ 1) x + 1 3 Câu 2 2.a) (4 đ) (2 đ) x+−2 ( xx − + 1) 4 x = . 0,5 (x+ 1)( xx −+ 1) 3 xx+14 = . (x+ 1)( xx −+ 1) 3 0,5 1
3. 4 x 0,25 = 3(xx−+ 1) 0,25 4 x Vậy P = với x0≥ 3(xx−+ 1) 4 x b) Với x0≥ ta được P = . Ta có 3(xx−+ 1) 8 P = ⇔2xx − 5 += 20(TM§K) 0,25 2.b) 9 (1 đ) Giải PT 2xx− 5 += 20 ra được 1 0,5 xx=4; = (TM§K) 124 1 0,25 Vậy xx=4; = thỏa mãn đề bài. 124 * Víi x ≥0; 3(xx − +> 1) 0 ⇒≥P 0 , min P = 0 khi x = 0 0,25 4 * Víi x > 0 thì P = 1 0,25 3(x +− 1) x 1 1 Theo bất đẳng thức Cô-si có x +≥2 nªn x + −≥11. 2.c) x x (1 đ) 4 0,25 Do ®ã P ≤ . 3 4 0,25 DÊu “=” x¶y ra khi x = 1. Do đó maxP = khi x = 1 3 4 Vậy maxP = khi x = 1; min P = 0 khi x = 0. 3 (m− 1) x += y 3m − 4( 1) a)  x+−( m 1y) = m( 2)  Rút y từ (1) rồi thay vào (2) và rút gọn 0,5 được mm2x( −=−) ( m23m2)( −) 0,25 Với m≠≠ 0, m 2 hệ có một nghiệm duy nhất 0,25 3m2m2−− ; 0,25 3 mm Câu 3 (4,0 Với m = 0, hệ vô nghiệm 0,25 (4,0 đ) đ) Với m = 2, hệ vô số nghiệm: (x; 2 – x) với x ∈ R 0,5 b) Với m = 1 thì nghiệm là (1; -1). 0,25 Với m = - 1 thì nghiệm là (5; 3) 0,25 Với m = - 2 thì nghiệm là (4; 2). 0,25 Với m = 2 thì nghiệm là (x; 2 – x) với x ∈ Z. 0,25 c) Với m≠≠ 0, m 2 hệ có một nghiệm duy nhất 0,25 3m2m2−− ; mm Ta thấy 2
4. 3m2m2−− x= = +=+2y2 mm 0,25 Từ đó y > 0 thì x > 0 0,25 m2− y0= >⇒ m 2. m 0,25 Vậy m 2 thỏa mãn đề bài. Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với ∀ a, b, c ∈ R và 2 abc222(abc++) x, y, z > 0 ta có ++≥ (*) 0,25 x y z xyz++ abc Dấu “=” xảy ra ⇔ = = xyz Thật vậy, với a, b ∈ R và x, y > 0 ta có 2 ab22(ab+ ) +≥ ( ) x y xy+ 2 ⇔ (a22 y+ b x)( x +≥ y) xy( a + b) 2 ⇔ (bx−≥ ay) 0 (luôn đúng) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có xyz VT =++ x2−+ yz2013 y 22 −+ zx 2013 z −+ xy 2013 xyz2 220,25 =++ 2 22 4.1 xxyz( −+2013) yyzx( −+2013) zzxy( −+2013) (2 đ) 2 ( xyz++) 0,25 ≥ Câu 4 VT 3 33 (1) (4,0 đ) x+ y + z −3 xyz + 2013( x ++ y z) Theo đề bài xy + yz + zx = 671 nên x( x2 −+ yz 2013) = x( x2 +++ xy zx 1342) > 0 , tương tự 0,25 y( y2 −+ zx 2013) > 0, z( z2 −+ xy 2013) > 0 Mà x3++− y 33 z3 xyz =++( x y z)( x2 ++−−− y 22 z xy yz zx) 0,25 = ++ ++2 − + + ( xyz) ( xyz) 3( xyyzzx) (2) ++ ++2 − + ++ 3 0,25 = ( xyz) ( xyz) 3.671 2013 =( xyz) (3) Từ (1) và (3) ta suy ra 2 ( xyz++) 1 VT ≥=3 0,25 ( xyz++) xyz++ 2013 0,25 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = . 3 2(1− m ) 2 (d) : yx=. + ; với m tham số, mm≠≠1; 2 4.2 mm−−22 (2 đ) Gọi (;xy00 ) là điểm cố định (d) luôn đi qua. Thay vào PT của 3
5. (d) ta có: 0,25 2(1− m ) 2 yx=. + , Với mọi m 00mm−−22 ⇔my000 −=−2 y 22 x mx 0 + 2,∀m ⇔my(00 + 2 x ) − 2 y 00 − 2 x −= 2 0; ∀ m 0,25 yx00+=20 x0 = 1 ⇔⇔ −2yx00 − 2 −= 20 y0 =− 2 0,25 Vậy điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua là (1; - 2) b) Nhận thấy (d) không đi qua O Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: 1 0,25 A;0 m −1 2 Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B 0; m − 2 0,25 Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có khoảng cách từ O đến (d) là 1 11 = + OH (đường cao) nên: 222 Hay OH OA OB 1 1 1 1 (m − 2)2 =+ ⇔ =−+(m 1) 2 OH222 x y OH 2 4 AB 42 ⇔2 = ⇔= 0,25 OH 22OH 4(mm−+− 1) ( 2) 5mm2 −+ 12 8 22 6 ⇔=OH ≤=5 ; Dấu “=” xẩy ra x = . 64 4 5 0,25 5(m22−+ ) 55 5 Xét my=⇒=−12; K/c từ O đến (d) bằng 2 6 0,25 Vậy OH=5 khi x = max 5 Câu 5 5 (6 đ) I M Q E 4 K I B A O P x
6. 0,25 a) Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A ⇒ AE⊥ AO ⇒ ∆OEA vuông ở A ⇒O, E, A ∈ đường tròn đường kính OE 0,25 (1) Vì ME là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M ⇒ ME ⊥ MO ⇒ ∆MOE vuông ở M ⇒ M, O, E ∈ đường tròn đường kính 0,25 OE (2) Từ (1) và (2) ⇒ Bốn điểm A, M, O, E cùng thuộc một đường 0,25 tròn * Tứ giác APMQ có 0,25 EAO = APM = PMQ = 90o 0,25 => Tứ giác APMQ là hình chữ nhật b) Ta có I là giao điểm của 2 đường chéo AM và PQ của hình 0,25 chữ nhật APMQ nên I là trung điểm của AM. (3) 0,25 Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và tại A. Dễ chứng minh được OE là đường trung trực của đoạn thẳng AM. (4) 0,25 Từ (3) và (4) suy ra: O, I, E thẳng hàng. 0,25 c) Hai tam giác AEO và PMB đồng dạng vì chúng là 2 tam giác vuông và AOE = ABM (so le trong của OE // BM). 0,5 AO AE => = (5) 0,25 BP MP KP BP Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số = (6) 0,25 AE AB Từ (5) và (6) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB 0,25 mà AB = 2.OA => MP = 2.KP 0,25 Vậy K là trung điểm của MP. d) Ta dễ dàng chứng minh được : 4 abcd+++ abcd ≤  (*) (theo bất đẳng thức Cô-si) 4 0,25 0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d 0,25 22 2 2 2 MP = MO− OP = R −− (x R) = 2Rx − x 23 Ta có: S = SAPMQ = MP.AP= x 2Rx −= x (2R − x)x 0,25 0,25 S đạt max ⇔ (2R− x)x3 đạt max ⇔ x.x.x(2R – x) đạt max xxx ⇔ . . (2R− x) đạt max 333 5
7. x Áp dụng (*) với a = b = c = , 3 4 xxx 1 x x x R4 − ≤ +++ − = Ta có : . . (2R x) 4 (2R x) 333 4 3 3 3 16 0,25 x 3 Do đó S đạt max ⇔ =(2R − x) ⇔ xR= . 3 2 0,25 R 3 Vậy khi MP = thì hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn 2 0,25 nhất. Hết 6