Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 11 năm học 2019-2020 môn Toán - UBND tỉnh Thái Nguyên

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 11 năm học 2019-2020 môn Toán - UBND tỉnh Thái Nguyên

1. UBND TỈNH THÁI NGUYÊN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2019 - 2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (6 điểm) x a. Giải phương trình: (1 cosx )sinx 3cosx 1 2(sinx 3)cos 4 . 2 n 1 12 2 b. Cho n là số tự nhiên lẻ (n 3). Chứng minh Cn Cn  Cn là một số lẻ. Bài 2. (4 điểm) a. Tính: lim(n sin 2020n ). x2020 2020x 2019 khi x 1 b. Cho hàm số f() x (x 1)2 . Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x 1. mx 1khi x 1 Bài 3. (3 điểm) Cho dãy số un được xác định như sau: u1 4 32* . un 1 5un 4n 3n 3n 1,n a. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. p 1 b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì 2020ui chia hết cho p. i 1 Bài 4. (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Mặt phẳng P chứa BC và cắt các cạnh SA, SD lần lượt tại M, N. Góc giữa đường thẳng AC và P bằng 30 . Tính diện tích thiết diện tạo bởi P và hình chóp S.ABCD. Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB BC AC nội tiếp đường tròn OR; . Vẽ đường tròn tâm O ' lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, AC tại D, E và tiếp xúc trong với đường tròn OR; tại T. Đường thẳng TD cắt đường tròn OR; tại K K T . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh KC KB và ba điểm D, I, E thẳng hàng. Bài 6. (2 điểm) Cho tập hợp X 1;2;3;4; ;3n. Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n 2 luôn tồn tại tập con M của tập hợp X sao cho tập con M có 2n phần tử và không có ba phần tử nào lập thành một cấp số cộng. HẾT