Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Đề số 1 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Lai Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Đề số 1 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Lai Châu (Có đáp án)

1. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI SỐ 1 Môn: Toán (Đề thi có 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: /04/2017 ĐỀ BÀI Câu 1 (2,0 điểm) 22  x 6 1  10 - x  Cho biểu thức A =  + +:x −+ 2  x3 −+ 4x 6 - 3x x 2 x + 2    a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 2 (4,0 điểm) a) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên: 3xx2 −+ 92 A = x − 3 b) Chứng minh đa thức x2017++ xx 27 2 chia hết cho đa thức xx2 ++1. Câu 3 (4,0 điểm ) a) Giải phương trình: 2x2 + 2xy + y2 + 9 = 6x - |y + 3| b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 2017. 2017a2 bc ab 22 c abc Tính giá trị của biểu thức: P = ++ ab+2017 a + 2017 bc ++ b 2017 ac ++ c 1 Câu 4 (5,0 điểm) xx+−3415x + a) Giải phương trình sau: −=− 4 9 2 36 11 2 b) Cho ab ≥1. Chứng minh rằng: +≥ 111+++a22 b ab Câu 5 (5,0 điểm) Cho hình vuông EFGH. Từ E, vẽ góc vuông xEy sao cho cạnh Ex cắt các đường thẳng FG và GH theo thứ tự ở M và N, còn cạnh Ey cắt hai đường thẳng trên lần lượt ở P và Q. a) Chứng minh rằng các tam giác EMQ và ENP là các tam giác vuông cân; b) Đường thẳng QM cắt NP ở R. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Tứ giác EKRI là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng. Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 1/1
2. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI SỐ 1 Ngày thi: /04/2017 (Gồm 04 trang) Thang Câu Ý Đáp án điểm ĐKXĐ: x ≠ -2, x ≠ 2, x ≠ 0 0,25 x 21 6 A = −+ : 0,25 (x−+ 2)(x 2) x − 2 x + 2 x + 2 x− 2(x + 2) +− x 2 6 = : 0,25 a (x+ 2)(x - 2) x + 2 Câu 1 - 6 x+ 2 = . 0,25 (2,0 điểm) (x+ 2)(x - 2) 6 −11 = = 0,25 x2−− 2x A ∈ Z ⇒ x - 2 là ước của 1 mà Ư(1) = {-1; 1} 0,25 b ⇒ x = 3 (TM), x = 1 (TM) 0,25 Vậy x = 3, x = 1 thì A có giá trị nguyên. 0,25 Thang Câu Ý Đáp án điểm 3x2 − 9 x + 2 3 xx ( −+ 3) 2 Ta có: A = = , (x≠ 3) 0,25 xx−−33 2 Ax=3 + 0,25 x − 3 Với xZ∈ thì 3xZ∈ và xZ−∈3 . Để AZ∈ thì x – 3 là ước của 2 0,25 a x −=31 x −=−31 hoặc 0,5 ⇔=x 4 ⇔=x 2 x −=32 x −=−32 hoặc 0,5 ⇔=x 5 ⇔=x 1 Câu 2 Vậy với xxxx=4, = 2, = 5, = 1 thì A nhận giá trị nguyên. 0,25 (4,0 điểm) x2017++= x 27 x 2 x 2017 −+−+++ xx2711 x 2 x 0,25 =xx(2016 −+ 1) ( x27 −+ 1) ( x2 ++ x 1) 0,25 2017 27 2 2 Vậy để x++ xx  (xx++ 1) ta cần chứng minh 0,25 2016 2 27 2 b (x − 1)  (xx++ 1) và x −1  (xx++ 1) . 2016 3 672 3 3 671 3 670 (x− 1)() = x −= 1( xxx − 1)() + () + 1 + 0,25 2 3 671 3 670 2 =(x− 1)( xx ++ 1) ( x ) + ( x ) ++ 1 xx ++ 1 0,25 27 3 9 3 3 8 3 7 x−=1() x −= 1( x − 1)()() xx + + 1 + 0,25 Trang 1/4
3. 2 38 37 2 =(x− 1)( xx ++ 1) ( x ) + ( x ) ++ 1 xx ++ 1 0,25 2 Vậy x2017++ xx 27 2  (xx++ 1) 0,25 Câu Thang Ý Đáp án điểm 2x2 + 2xy + y2 + 9 = 6x - y3+ 0,25 ⇔ 2x2 + 2xy + y2 + 9 - 6x + y3+ =0 ⇔ (x2 + 2xy + y2) + (x2 - 6x + 9) + y3+ = 0 0,25 ⇔ (x + y)2 + (x - 3)2 + y3+ = 0 (1) 0,25 Vì (x + y)2 ≥ 0, (x - 3)2 ≥ 0, y3+ ≥ 0 với mọi x, y 0,5 nên (x + y)2 + (x - 3)2 + y3+ ≥ 0 với mọi x, y 0,25 x+y=0  x = 3 a Vậy (1) ⇔ x-3=0 ⇔  0,25  y = −3 y+3=0 Câu 3 Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -3) 0,25 (4,0 điểm) 2017a2 bc ab 22 c abc P = ++ ab+2017a+2017 bc+b+2017 ac+c+1 2017a b c = abc.+ + 0,5 ab+2017a+2017 bc+b+2017 ac+c+1 Thay abc = 2017 vào P ta có: b abca b c P = abc. ++ 0,5 ab+abca+abc bc+b+abc ac+c+1 abca b c = abc. ++ ab.(1+ac+c) b.(c+1+ac) ac+c+1 0,5 ac 1 c ac+c+1 = abc. ++ = abc. = abc = 2017 ac+c+1 ac+c+1 ac+c+1 ac+c+1 0,5 Thang Câu Ý Đáp án điểm * Nếu x < -3 ta xx+−3415x+ xx +− 3415 x + 0,25 có: − = − ⇔− + = − 4 9 2 36 4 9 2 36 ⇔−9(xx + 3) + 4( − 4) = 18 − ( x + 5) 0,25 ⇒=−x 14 . Thỏa mãn điều kiện 0,25 Câu 4 −≤34x ≤ a * Nếu (5,0 điểm) xx+−3415x+ xx +− 3415 x + 0,25 − =−⇔+=− 4 9 2 36 4 9 2 36 ⇔=14x 2 0,25 1 ⇒=x 7 0,25 Thỏa mãn điều kiện Trang 2/4
4. * Nếu x>4 Ta có: xx+−3415x+ xx +− 3415 x + 0,25 − =−⇔−=− 4 9 2 36 4 9 2 36 ⇔=−6x 30 0,25 ⇒=−x 5 Không thỏa mãn 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình: 1 0,25 −14; 7 11 2 11  11  +≥ ⇔ − + − ≥ 22 2 2 0 0,25 111+++a b ab 11 ++ a ab  11 ++ b ab  11+ab −− a22 11 + ab −− b ⇔+≥ 220 0,25 (1++a )(1 ab ) (1 ++ b )(1 ab ) ab(− a )(1 ++− b22 ) b(a b)(1 +a ) ⇔≥ 220 0,25 (1+++a )(1 ab )(1 b ) +22 + +> Vì ab ≥1 nên (1a )(1 ab )(1 b ) 0 0,25 ⇒ab( − a )(1 ++− b22 ) b(a b)(1 +a ) ≥ 0 b 22 0,25 ⇔−(a b) −abba (1 + ) + (1 + ) ≥ 0 ⇔(a − b)( −−a ab22 ++ b ba ) ≥0 0,25 ⇔−(ab)()()0[abab −−− ab] ≥ 0,25 ⇔−(a b)2 (ab −≥ 1) 0 0,25 −2 ≥ −≥ Bất đẳng thức đúng vì: (a b ) 0, ab 1 0 0,25 11 2 +≥ 22 0,25 Do đó 111+++a b ab với ab ≥1 Đáp án Thang Câu Ý điểm x R N y I F P M G 0,25 K H E Câu 5 Vẽ hình, ghi GT/KL đúng. (5,0 điểm) Q ∆ FEM và ∆ HEQ có: F = H = 900 , FE = HE, 0,5 FEM = HEQ = 900 − MEH ⇒ ∆ FEM = ∆ HEQ (g.c.g) 0,25 a ⇒ EM = EQ mà MEQ = 900 0,25 ⇒ ∆ EMQ vuông cân 0,25 Chứng minh tương tự: 0,5 ∆ FEP = ∆ HEN ⇒ EP = EN mà PEN = 900 Trang 3/4
5. ⇒ ∆ ENP vuông cân 0,25 ∆ EMQ và ∆ ENP cân có EK, EI là các đường trung tuyến 0,25 ⇒ EK ⊥ MQ, EI ⊥ PN ⇒ EIR = EKR = 900 (1) 0,25 ∆ NPQ có NE ⊥ PQ, PG ⊥ QN và PG ∩ NE = {M} 0,25 b ⇒ M là trực tâm của ∆ NPQ 0,25 ⇒ MQ ⊥ PN tại R 0,25 ⇒ KRI = 900 (2) 0,25 Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác EIRK là hình chữ nhật 0,25 EI và GI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền PN của các tam giác vuông ENP và GNP ⇒ EI = GI (3) 0,25 EK và GK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền QM của các tam giác vuông EMQ và GMQ ⇒ EK = GK (4) c Từ (3) và (4) ⇒ IK là đường trung trực của đoạn thẳng EG 0,25 mặt khác FH là đường trung trực của đoạn thẳng EG (vì EFGH là 0,25 hình vuông) ⇒ bốn điểm I, F, K, H thẳng hàng. 0,25 Lưu ý: - Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phần. Thang điểm toàn bài là 20 điểm, không được làm tròn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25). - Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết Trang 4/4