Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Đề số 1 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Lai Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Đề số 1 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Lai Châu (Có đáp án)

1. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán ĐỀ THI SỐ 1 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi có 01 trang) Ngày thi: 9/4/2017 Câu 1: (4,0 điểm) 2 + xx( 2) 4 8x + 32 2 Cho biểu thức: P = −+:1 − 2  ++ 28−−x xx 2 + x ( x 13) a) Rút gọn P; b) Tính giá trị của P với x =9 − 45; c) Tìm các giá trị chính phương của x để P có giá trị nguyên. Câu 2: (4,0 điểm) 2.1. Chứng minh với mọi n là số tự nhiên chẵn thì 20n + 16n - 3n - 1  323 2.2. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 Câu 3: (4,0 điểm) 3.1. Cho phương trình: x2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5. y+= xy226 x 3.2. Giải hệ phương trình sau:  22 2 15+=xy x Câu 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O). Qua điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là hai tiếp điểm) và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: A, M, O, I, N thuộc một đường tròn; b) Chứng minh: IA là tia phân giác của MIN ; c) Vẽ dây CD song song MN, H là giao điểm của BD và MN. Chứng minh: HM = HN. Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. 111111 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = +++++ x2 y 22 z xy yz xz Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 1/1.
2. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI SỐ 1 Môn: Toán (Gồm: 05 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: /4/2017 Người ra đề: Chung HƯỚNG DẪN CHẤM Thang Câu Ý Đáp án điểm ĐKXĐ của P là : x > 0 và x ≠ 4 0,25 xx(++ 4 x 4) 4 8x+ 32 Đặt: A = −+ x+++−2 x 1 3 2x (2 − x )(4 ++ 2 xx ) 0,5 (xxxx+ 4 + 4 )(2 − xxx ) − 4( + 2 ++ 4) 8 x + 32 = (2−xx )( ++ 2 x 4) 2(x )3++ 8 x 8 xx −− 23 4( x ) −−− 4 x 4 x 8 x −+ 16 8 x + 32 = 0,25 (2−xx )( ++ 2 x 4) a 32 3 −2(xx ) −+ 8 x + 16 − ( x ) (2 + x ) + 8( x + 2) 0,25 = = (2−xx )( ++ 2 x 4) (2 −xx )( ++ 2 x 4) 3 (2+−xx ) 8 ( ) = =2 + x 0,25 Câu 1 (2−x )(4 ++ 2 xx ) (4 điểm) xx(2+ )2 Vậy: P = (2+=x ): (x > 0 và x ≠ 4 ) 0,5 2 + xx Thay x =9 − 45 vào P ta được : b (2+− 5 2)2 5 5( 5− 2) 0,5 P = = = =5 5 − 10 52−− 52 54− (2+ x )2 44++xx 4 Ta có: P = = = ++4 x 0,5 x xx 4 c P ∈ Z ⇔ ∈ Z và xZ∈ 0,25 x ⇔∈x Ư (4) ⇔x ∈±{ 1,2,4 ± ±} và xZ∈ 0,25 ⇔ x = 1 hoặc x = 16 thì P có giá trị nguyên. 0,5 Ta thấy 323 = 17.19 mà (17; 19) = 1 ta chứng minh n nn 0,5 Xét B = 20+ 16 −− 3 1  17 và B  19 Trang 1/5.
3. ta có B = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M = 17M  17 2.1 n 0,5 16 - 1 = (16 + 1)N = 17N  17 ( n chẵn) ⇒ B  17 (1) ta có: B = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - 1 = (20 - 1)P = 19P  19 Câu 2 (4 điểm) có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q  19 ( n chẵn) 0,5 ⇒ B  19 (2) Từ (1) và (2) ⇒ B  323 0,5 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 0,5 ⇔ (2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 ⇒ 2x + y + 1 và x + y + 1 là các ước của -1 0,25 2.2 2x + y +1 = 1 x = 2 0,5 TH1:  ⇒  x + y +1 = −1 y = −4 2x + y +1 = −1 x = -2 TH2:  ⇒  0,5 x + y +1 = 1 y = 2 Kết luận (x,y) ∈{(2; - 4), (-2; 2)} 0,25 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh của 0,25 tam giác ⇒ Phương trình phải có hai nghiệm dương (mm+ 5)22 − 4(3 +≥ 6) 0 ( m − 1) ≥ 0  ⇔m +50 > ⇔mm >−5 ⇔ >− 2 0,75 3mm+ 60 > >−2 3.1  - Vì x1, x2 là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh 22 2 0,25 huyền bằng 5 nên: x1+=⇔ x 2 25 ( x1 + x 2 ) − 2 xx 12 = 25 - Áp dụng định lí Vi-et ta được: 2 2 0,5 (m + 5) - 2(3m + 6) = 25 ⇔ m + 4m - 12 = 0 3 ⇔ m = -6(loại); m = 2(thỏa mãn). Vậy m = 2. 0,25 (4điểm) y = 0 - Nếu x = 0 ⇒  (vô lí) 10=  0,25 - Vậy x ≠ 0, khi đó chia hai vế của từng phương trình của hệ với x2 ta được: 3.2  2  11 yy yy += 6  2 +=6  xx xx ⇔ 0,25 1 2 +=2 11 2 y 5 +−yy2. . = 5  x xx Trang 2/5.
4.  1 Sy= +  x SP.6= Đặt:  (ĐK: S2 ≥ 4P) khi đó:  0,25 1 SP2 −=25 Py= .   x SP.6= SP .6= ⇔ ⇔ 32 0,25 SS−−=5 12 0 ( S − 3)( SS ++= 3 4) 0 SP.6= S = 31 TH1: ⇔ ⇒ và y là nghiệm của phương SP−=30 = 2 x 0,25 trình: X2 - 3X + 2 = 0 xy=1, = 2  ⇔=X12 1, X = 2 ⇒ 1 0,25 xy=,1 =  2 S.P= 6 TH2:  2 (Vô nghiệm) 0,25 S+ 3S += 40 1 Vậy (x, y) ∈ {(1; 2), ( ; 1)}. 0,25 2 Vẽ hình đúng, khoa học M D H O 0,5 A B I C N - Vì AMO = ANO = 900 (tính chất tiếp tuyến) ⇒AMO +=⇒ ANO 1800 AMON nội tiếp đường tròn 0,5 6 đường kính AO (1) (6điểm) 0 a - Vì I là trung điểm của BC ⇒ OI⊥ BC ⇒=OIA 90 ⇒AMO +=⇒ AIO 1800 AMOI nội tiếp đường tròn 0,5 đường kính AO (2) - Từ (1) và (2) ⇒ A, M, O, I, N thuộc đường tròn đường 0,5 kính AO - Vì AMOI nội tiếp ⇒=AIM AOM (cùng chắn cung AM) 0,5 - AOM = AON (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) 0,5 b - Vì AOIN nội tiếp ⇒=AON AIN (cùng chắn cung AN) 0,5 ⇒=AIM AIN hay IA là tia phân giác của MIN 0,5 c - Vì MN//CD ⇒ MBD = NBC mà BMH = BCN (cùng 0,5 Trang 3/5.
5. HB NB chắn BN )⇒∆BHM # ∆BNC(g.g) ⇒ = (3) HM NC - Vì MN//CD ⇒ NBH = CBM mà BNH = BCM (cùng HB MB 0,5 chắn BM ⇒∆BNH #∆BCM(g.g) ⇒ = (4) HN MC NB AB - Vì ∆ABN #∆ANC (g.g) ⇒= 0,25 NC AN MB AB - Vì ∆ABM #∆AMC (g.g) ⇒= 0,25 MC AM NB MB mà AM = AN(t/c hai tiếp tiến cắt nhau) ⇒ = (5) 0,25 NC MC HB HB - Từ (3), (4), (5) ⇒ = ⇒ HM = HN 0,25 HM HN 111 9 Áp dụng bất đẳng thức: ++≥ A B C A + B + C 0,25 (với A, B, C > 0) 111 9 Với x, y, z > 0 ta có: ++≥ xy yz zx xy + yz + zx 19 ⇒Q ≥ + x222 + y + z xy + yz + zx 0,25 11 1 7 Q ≥ ( + + )+ Câu 5 x222 + y + z xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx (2 điểm) 97 ≥ 222 + x + y + z +2xy + 2yz + 2zx xy + yz + zx 0,5 9 7 9 21 = + ≥≥+ 30 (x + y + z)2 xy + yz + zx (x + y + z)22 (x + y + z) 0,5 (Do 3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)2 và x + y + z = 1) 1 Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi và x = y = z = 3 0,5 1 Vậy Qmin = 30 ⇔===xyz 3 Lưu ý: - Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phần. Thang điểm toàn bài là 20 điểm, không được làm tròn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25). - Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết Trang 4/5.