Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Sở GD và ĐT Lạng Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Sở GD và ĐT Lạng Sơn (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN Thời gian : 150 phút Ngày thi: 31/3/2015 Câu 1. (4 điểm) x 2 x 1 1 Cho biểu thức A (x 0;x 1) x x 1 x x 1 1 x 1. Rút gọn biểu thức A 2. Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x>0;x1 Câu 2. (4 điểm) Giải phương trình : x2 6x 10 2 2x 5 Câu 3. (4 điểm) Cho phương trình x2 2(a 1)x 2a 0 (1) (với a là tham số) 1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi a 2. Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 23 Câu 4. ( 6 điểm) Cho góc xOy có số đo bằng 600 . Đường tròn có tâm K tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN tại E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN tại F. 1) Chứng minh rằng hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng với nhau 2) Chứng minh tứ giác PQEF nôi tiếp 3) Gọi D là trung điểm PQ. Chứng minh tam giác DEF đều Câu 5. (2 điểm) Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện : x y 6 68 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3x 2y xy
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 LẠNG SƠN 2014-2015 Câu 1. x Rút gọn được A x x 1 Chứng minh được 0 < A <1 nên A không nguyên Câu 2. PT x2 8x16 2x 522x 51 2 x 4 2 2x 5 1 Nghiệm phương trình là x = -2 Câu 3. Có ' a2 1 0 với mọi a nên phương trình luôn có nghiệm 22 x12 x 2a 2 Theo giả thiết x12 x 12, theo Vi et x12 .x 2a Nên 2a 2 2 4a 12 hay a = 1; a = -2 Câu 4. O N E M F Q K D P y x
3. 1. PK là phân giác góc QPO nên MPE KPQ (*) Tam giác OMN đều EMP 1200 QK cũng là phân giác OQP QKP 1800 KPQ KQP Mà 2.KQP 2.KPQ 1800 60 0 120 0 QKP 120 0 Do đó EMP QKP ( ) Từ (*) và ( ) ta có tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ 2. Do hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng nên MEP KQP hay FEP FQP Suy ra tứ giác PQEF nội tiếp trong đường tròn PM PE PM PK 3. Do 2 tam giác MPE và KPQ đồng dạng nên suy ra PK PQ PE PQ Ngoài ra MPK EPQ , do đó hai tam giác MPK và EPQ đồng dạng Từ đó PEQ PMK 900 Suy ra, D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQEF Vì vậy tam giác DEF cân tại D Ta có FPD 18000 FDP EDQ POQ 60 Từ đó tam giác DEF là tam giác đều Câu 5. Ta có a b 0 nên a b 2 ab với a, b dương Từ giả thiết 12 16 2P 3(x y) (3x ) y 3.6 2.6 2.4 38 xy Nên 2P 38 P 19. Vậy Min P=19 khi x=2; y=4