Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD và ĐT Trà Vinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD và ĐT Trà Vinh (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT TRÀ VINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH * LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015- 2016 Đề thi chính thức MÔN THI :TOÁN Thời gian:150 phút(không kể thời gian giao đề) Học sinh làm tất cả các bài toán sau đây : 3x + 9x 3 x 1 x 2 Câu 1. ( 3 điểm) Cho biểu thức P = Với x 0 ; x 1 x x 2 x 2 1 x 1/. Rút gọn biểu thức P 2/. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của P là số nguyên . 2 Câu 2. ( 3điểm) Cho phương trình : x - x - 1=0.Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của 10 10 phương trình . Chứng minh rằng : M = x1 x2 là số tự nhiên. Câu 3. ( 3điểm) Giải phương trình : x4 +2x3+x2 -2 +2 x2 2x 2 = 0 Câu 4. (2 điểm)Tìm ba số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2+q2+r2 cũng là số nguyên tố. Câu 5. ( 3điểm) Cho các số dương a,b,c . Chứng minh rằng : 7 5 4 4 1 3 4 a b c a b b c c a Câu 6. ( 2 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD ( Aµ Dµ 900 ) , có DC = 2AB . Kẻ DH vuông góc với AC (H AC) , gọi N là trung điểm của CH . Chứng minh BN vuông góc với DN . Câu 7. ( 4 điểm ) Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R 2 . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R. 1) Chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông. 2) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). 3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE. 1
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 1 x 1 1.0 1/ P= x 1 x 1 2 2 2/ P 1 0,5 x 1 x 1 0,5 Vì P nguyên nếu x 1 { -1;1;-2;2} 1,0 Suy ra x =0 ; x=4 ; x=9 2 Ta có x1+x2 = 1 2 0,5 x1 là nghiệm của pt x1 x1 1 4 2 2 0,5 x1 x1 1 x1 2x1 1 3x1 2 8 x1 21x1 13 0,5 10 2 8 0,5 x1 x1 .x1 55x1 34 10 Tương tự x2 55x2 34 0,5 M = 55.1+68= 123 0,5 Vậy M là số tự nhiên . 3 2 2 1 x2 x 2( x 1 1 1) 0 2 2 2 (x x) 0x Ta có 2 (x 1) 1 1x (x 1)2 1 1 0x 2 x x 0 3 1,5 Pt 2 2 (x 1) 1 1 0 4 Pt 3 x 0; x 1 1,5 Thay x 0 và x 1 vào pt 4 chỉ có x 1 là nghiệm Vậy Pt 1 có nghiệm x 1 4 Giả sử các số nguyên tố p,q,r đều khác 3 . Khi đó p , q , r chia cho 3 có số dư là 1 hoặc 2 . 0,5 Nên p2 , q2 ,r2 chia cho 3 đều có số dư là 1. Do đó p2 + q2 +r2 chia hết cho 3, suy ra p2 + q2 +r2 không phải là số nguyên tố. 0,5 Vậy trong 3 số p,q,r tồn tại một số bằng 3, nên có thể là p=2 , q=3 , r=5 hoặc p=3 , q=5 , r=7 Nếu p=2 , q=3 , r=5 thì p2 + q2 +r2 = 38 không thỏa 0,5 Nếu p=3 , q=5 , r=7 thì p2 + q2 +r2 = 83 thỏa Vậy 3 số cần tìm lả 3,5,7. 0,5 2
3. 5 7 5 4 4 1 3 CM: 4 a b c a b b c c a Áp dụng bđt Cô-Si ta có : x+y 2 xy 1 1 1 2 x y xy 1 1 1 1 4 1,0 x y 4 (1) x y x y x y 0,5 Áp dụng bđt (1) , ta có : 1 1 4 4 4 16 (2) 0,5 a b a b a b a b 1 1 4 0,5 (3) b c b c 1 1 4 3 3 12 (4) 0,5 a c a c a c a c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (2) , (3), (4) ta có 7 5 4 4 1 3 4 a b c a b b c c a Chú ý : Nếu thí sinh làm đúng mà không chứng minh bđt (1) thì chỉ được 1 điểm 6 Gọi M là trung điểm của DH 0,5 Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành AM // BN (1) 0,5 Chứng minh MN  AD 0,5 Suy ra M là trực tâm của ADN AM  DN (2) 0,5 Từ (1) và (2) BN  DN 7 A y x E D M C B F R O 0,25 3
4. · · 0,5 a) Ta có: ABO ACO 900 (tính chất tiếp tuyến) (1) 0,25 AB = AC OA2 OB2 = R = OB = OC (2). Từ (1) và (2) suy ra ABOC là hình vuông. b) Theo bài ra ta có: AD + DE + AE = 2R (3). Suy ra: DE = BD + CE (4). 0,5 Vẽ OM  DE (M DE) (5) Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho 0,5 CF = BD; suy ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c) OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE=∆OFE (c- c-c) OM = OC = R 0,5 (hai đường cao tương ứng) (6). Từ (5) và (6) suy ra DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). 1 c) Đặt: AD = x; AE = y S xy (x, y > 0) ADE 2 0,5 Ta có: DE AD2 AE2 x2 + y2 (định lí Pitago). Vì AD + DE + AE = 2R x + y + x2 y2 = 2R (6) Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: x + y 2 xy và x2 + y2 2xy (7). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y. 0,5 Từ (6) và (7) suy ra: 2 xy 2xy 2R xy 2 2 2R 2R 2R 2 xy xy 0,5 2+ 2 3 2 2 2 R 2 SADE SADE 3 - 2 2 R . 3 2 2 2 Vậy max SADE = 3 2 2 R x = y ∆ADE cân tại A. 4