Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (3,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức B 13 30 2 9 4 2 2) Cho các số thực a,, b c thỏa mãn a b c0, a2 b 2 c 2 , b2 c 2 a 2, c2 a 2 b 2. a2 b 2 c 2 Tính giá trị biểu thức P . a2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 Câu 2. (4,0 điểm) 1) Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm trên đường thẳng yx21 những điểm M x; y sao cho y2 5 y x 6 x 0. a b c 2) Cho a,, b c là các số thực thỏa mãn 0 . Chứng minh rằng phương trình 654 ax2 bx c 0 luôn có nghiệm. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho các số thực dương a,,. b c Chứng minh rằng 8 8 8 8 8 8 a2 b 2 c 2 . (a b )2 4 abc ( b c ) 2 4 abc ( a c ) 2 4 abc a3 b 3 c 3 2) Tìm các số nguyên tố a,, b c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình a2 b 216 c 2 9 k 2 1. Câu 4. (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB2 a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O ' đường kính AO. Điểm M thay đổi trên nửa đường tròn O ' (M khác A và O ), tia OM cắt đường tròn O tại C. Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với đường tròn O ' . 1) Chứng minh rằng tam giác ADM cân. 2) Tiếp tuyến tại C của đường tròn O cắt tia OD tại E, chứng minh EA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn O và O ' . 3) Đường thẳng AM cắt OD tại H , đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng ba điểm AMN,, thẳng hàng. 4) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với AB. Câu 5. (3,0 điểm) 1) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho AM2 AP 22 AN 2 . Tính góc PAN. 2) Cho các đa thức Px x3 ax 2 bxcQx; x 2 2016 x 2017 thỏa mãn Px 0 có ba nghiệm thực phân biệt và P Q x 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng P 2017 10086 . HẾT
2. UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán - Lớp 9 Câu Đáp án Điểm 1.1. (1.5 điểm) B 13 302 9 42 13 302 8 28 1 0.75 2 13 30 2 ( 8 1) 13 30 2 8 1 13 30 2 2 2 1 13 30 ( 2 1)2 18 2 18.5 25 0.75 ( 18 5)2 3 2 5 1.2. (1.5 điểm) a2 b 2 c 2 P 2 2 2 bcbc2 2 caca 2 2 abab 2 2 0.75 a2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 2bc 2 ca 2 ab 2 abc Ta có a3 b 3 c 330 abc abca 2 b 2 c 2 abbcca 3 3 3 a b c3 abc 0.75 3 Do vậy, P 2 2.1. (2.0 điểm) yx2 Ta có y2 5 y x 6 x 0 yx3 1.0 2 Với y2 x 2 x 1 2 x x x 1 0 , không có x thỏa mãn. x 1 x 1 Với y3 x 2 x 1 3 x 1 1 x x 2 4 1.0 13 Từ đó tìm được các điểm thỏa mãn là M 1;3 hoặc M ;. 42 2.2. (2.0 điểm) 5 5 Với a0 b c ta được cx c . 4 4 Nếu c 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x . 1.0 4 Nếu c 0, phương trình có nghiệm x . 5 Với a 0, 4 4 16 8 16 64 8 bacba244 2 abb 2 abab 2 2 ab a 2 a 2 6 5 5 3 5 25 75 2 1.0 88 b a a2 0, a 0, b . Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 5 75 Vậy phương trình luôn có nghiệm.
3. 3.1. (2.0 điểm) Ta có 8 8 8 (ab )2 ;ab22 nên 0.5 (ab )2 4 abc ( ab ) 2 cab ( ) 2 ( c1) ( ab ) 2 2 8a2 b 2 8 ( a b ) 2 2 2 0.5 (a b )22 4 abc24 ( c 1)( a b ) c 1 2 2 8 8 0.5 c 1 2. 2c 1 c 3 88ab22 Do đó, (a b )2 4 abc 23c 88b22c 88ac22 Tương tự , . 0.5 (b c )2 4 abc 23a (a c )2 4 abc 23b Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. 3.2. (2.0 điểm) Vì VP chia 3 dư 1 nên VT chia 3 dư 1. Mà bình phương của số nguyên tố chia 3 dư 1 hoặc 0 nên hai trong ba số a,, b c phải bằng 3. 0.5 TH1: ab3 ta có 18 16c2 9 k 2 1 17 9 k 2 16 c 2 (3 k 4 c )(3 k 4 c ) 3kc 4 1 k 3 (thỏa mãn) 3kc 4 17 c 2 0.5 Vậy ta được a; b ; c ; k 3;3;2;3 . TH2: Nếu c 3 ; a 3 hoặc b 3. Với a 3 ta có 32b 2 16 3 2 9 k 2 1 152 9 k 2 b 2 (3 k b )(3 k b ) 2 3 19. Vì 3k b ,3 k b cùng tính chẵn lẻ mà tích là chẵn nên chúng cùng chẵn. Ta được các trường hợp: 32kb k 13 (thỏa mãn) 3k b 76 b 37 1.0 Ta được các bộ a;;; b c k thỏa mãn là (a , b , c , k ) (3,37,3,13). 34kb k 7 (thỏa mãn) 33kb 8 b 17 Ta được các bộ thỏa mãn là (a , b , c , k ) (3,17,3,7) Tương tự ta có các bộ (a , b , c , k ) (37,3,3,13),(17,3,3,7). 4.1. (1.0 điểm) Tam giác AOC cân tại O , có OD là C N đường cao nên là phân giác trong góc AOC , do đó AOD COD E M 0.5 D H A O' O B
4. AD DM nên DA DM. 0.5 Vậy tam giác AMD cân tại D. 4.2. (1.0 điểm) OEA OEC c. g . c OAE OCE 900 . 0.5 Do đó, AE AB. Vậy AE là tiếp tuyến chung của O và O '. 0.5 4.3. (2.0 điểm) Giả sử AM cắt O tại N ' . OAN ' cân tại O, có OM AN ' nên OM là đường trung 1.0 trực của AN''. CA CN Ta có CN' A CAM mà CAM DOM, do đó CN'. H COH Bốn điểm CNOH, ', , thuộc một đường tròn. 1.0 Suy ra, N ' thuộc đường tròn ngoại tiếp CHO. Do vậy, N ' trùng với N. Vậy ba điểm AMN,, thẳng hàng. 4.4. (2.0 điểm) Vì ME// AB và AB AE nên ME AE . Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng nên 1.0 MO MA AO MA2 AO. EM (*) EA EM MA 2 Dễ thấy MEO cân tại M nên ME MO. Thay vào (*) ta được MA OAMO. ( ) Đặt MO x 0 ta có MA2 OA 2 MO 2 a 2 x 2. Từ ( ) suy ra a2 x 2 ax x 2 ax a 2 0. 1.0 51a Từ đó tìm được OM 2 5.1. (1.5 điểm) M N Dựng tam giác ANB vuông cân tại N (AB, nằm khác phía đối với NP ). B Ta có AB222 AN , BAN 450 và A AMN BNP c g c AM BP . 1.0 Q P Do đó, AP2 AB 2 AP 22 AN 2 AM 2 BP 2 ABP vuông tại A. 0.5 Nên PAN PAB BAN 900 45 0 135 0 5.2. (1.5 điểm) Gọi x1,, x 2 x 3 là ba nghiệm của Px ta có P x x x1 x x 2 x x 3 0.5 Suy ra, PQx Qx xQx1 xQx 2 x 3 Do P Q x 0 vô nghiệm nên các phương trình Q x x0 i 1,2,3 vô nghiệm. i 2 Hay các phương trình x2016 x 2017 xi 0 i 1,2,3 vô nghiệm
5. Do đó, các biệt thức tương ứng ' 100822 2017xx 0 2017 1008 i i i 1.0 6 Suy ra, P2017 2017 x1 2017 x 2 2017 x 3 1008 . Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. Hết