Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2017 Đề chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017 Bài 1 (6,0 điểm). 2m 16 m 6 m 2 3 1. Cho biểu thức: P = 2 m 2 m 3 m 1 m 3 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Bài 2 (5,0 điểm). 1 1 4 a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: x y x y 2 b) Cho phương trình: 2x 3 mx 2 0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1 và x2 . 2 22 2 11 xx12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = xx12 xx12 Bài 3 (2,0 điểm) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x yz y xz z xy2 xy yz zx Bài 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó. a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức: 2 3 S + 2S' MH + MI + MK = 3R 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN = BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF Lbinhpn thcsphuochoa
2. ĐÁP ÁN Bài 1 (6,0 điểm). m 1 1a) Rút gọn được P = (với m 0, m 1) m 1 1b) P = = 1 + 2 m 1 2 Ta có: P N Nm 1 là ước dương của 2 m 4; 9 (TMĐK) m 1 Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm. 2) a + b + c 4 (a, b, c Z) Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc = 16k2 4 ak ack ac 4 k b abc = 64 k3 16 bk 2 16 ak 2 4 abc 16 ck 2 4 bck 4 ack abc abc = 4 16k3 4 bk 2 4 ak 2 abk 4 ck 2 bck ack 2 abc (*) Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1) Mà: a + b + c 4 a + b + c 2 (theo giả thiết) (2) Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2 2abc 4 ( ) Từ (*) và ( ) P 4 Bài 2 (5,0 điểm). 1 1 4 ab 4 22 a) a b 40 ab a b (đúng) x y x y ab a b b) PT có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 3m 2 Ta có: xx và xx. 12 2 12 2 2 22 2 11 xx12 M = xx12 = = xx12 22 22 11 x x x x x x 1 1 2 x x 4 x x 1 1 2 1 2 22 1 2 1 2 x1 x 2 x 1 x 2 92 2 = 9 m 8 2 8 8 2 8 2 Dấu “=” xảy ra khi m = 0 Vậy GTNN của M là 8 2 8 khi m = 0 Bài 3 (2,0 điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương x2 và yz, ta có: 1 1 1 1 + yz 22x2 yz x yz . x2 yz 2x yz2 x yz Lbinhpn thcsphuochoa
3. 1 1 1 1 1 1 Tương tự, ta có: . và . y2 xz 2 y xz z2 xy 2 z xy 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra: (1) 2 2 2 x yz y xz z xy 2 x yz y xz z xy 1 1 1 yz xz xy Ta có: = (2) x yz y xz z xy xyz Ta có: yz xz xy x + y + z (3) Thật vậy: (*) 2yz 2 xz 2 xy 2 x 2 y 2 z 2 2 2 x y z x y x 0 (BĐT đúng) Dấu “=” xảy ra khi x = y = z x y z 111 Từ (2) và (3) suy ra: (4) xyz yz xz xy 1 1 1 1 1 1 1 Từ (1) và (4) suy ra: 2 2 2 x yz y xz z xy2 xy yz zx Bài 4 (7,0 điểm). 1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB Ta có: BEM là tam giác đều BE = BM = EM A A BMA = BEC MA = EC Do đó: MB + MC = MA Cách 2: O O Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB E Ta có: BEM là tam giác đều B C BE = BM = EM B C MBC = EBA (c.g.c) MC= AE M Do đó: MB + MC = MA M E 1.b) Kẻ AN vuông góc với BC tại N A Vì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác 3 A, O, N thẳng hàng AN = R 2 AN 33 Ta có: AN = AB.sin ABN AB R:3 R O sin ABN 22 K 1 2SABM 2SABM I N Ta có: MH. AB SABM MH = B 2 AB R 3 C H 1 2SACM 2SACM MK. AC SACM MK = 2 AC R 3 M 1 2S 2S 2'S MI. BC S MI BCM = BCM = 2 BCM BC R 3 R 3 2 2 Do đó: MH + MK + MI = + SS = + .S R 3 ABM ACM R 3 ABMC 2 2 3 SS 2 ' = + .' SS R 3 3R Lbinhpn thcsphuochoa
4. 2. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K Tứ giác AEDB nội tiếp CDE BAC Mà: MKD CDE (vì MK // BC). Do đó: MKD MAN Tứ giác AMKN nội tiếp AMN AKN Ta có: DD34 (= BAC ) DD12 A DMK có DA là phân giác vừa là đường cao nên cân tại D DM = DK N AMD = AKD (c.g.c) AMD AKD F Nên: AMF AKN . Ta có: AMF AMN AKN E H Vậy: MA là phân giác của góc NMF M K 1 2 3 4 B D C Lbinhpn thcsphuochoa