Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hậu Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hậu Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TỈNH HẬU GIANG TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu 1 (2,5 điểm) x22 9 y y 2 Tính giá trị biểu thức A biết x22 16y 7xy xy x 4 x32 6x 9x y 1 Câu 2 (5,0 điểm) 1 1 1 a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x y 2 b) Tìm các số tự nhiên n sao cho A n2 2n 8 là số chính phương Câu 3 (4,5 điểm) a2 b 2 c 2 a) Cho a,b,c 0 chứng minh rằng a b c b c a x y 2(1 xy) b) Giải hệ phương trình xy x y 2 0 Câu 4. (5,5 điểm) Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn O;R a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M B;C . Trên tia đối của tia MB lấy MD = MC . Chứng minh MCD đều c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC là lớn nhất . Tính giá trị lớn nhất của S theo R Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam a 9b 16 giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S b c a c a b a b c
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU GIANG 2017-2018 Câu 1. ĐKXĐ: y 1;x 0;x 3 x3x3y1y2 x3y2 Ta có A x x 3 2 y 1 x(x 3) 2 x 4 0 x 4 Từ giả thiết x22 16y 7xyxyx4 x4y x4 0 x 4y 0 y 1 7 Do đó A 4 Câu 2. 1 1 1 a) Với x,y 0 ta có x y 2 x y 1 2x 2y xy 0 x y 2 2(y 2) 4 (x 2)(y 2) 4 xy 2 Lập bảng xét các ước của 4 ta có các nghiệm x;y 2;1 ; 1; 2 ; 3;6 ; 4;4 ; 6;3  b) Đặt n22 2n8a an1.an1 7 với a nguyên dương a n 1 7 a 4 Vì a n 1 a n 1 nên a n 1 1 n 2 Câu 3. a2 a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: b 2a b bc22 Tương tự ta có: c 2b ; a 2c ca a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 b c a 2a 2b 2c a b c b c a b c a Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c b) Từ phương trình xyxy20 1xyxy3 Thay vào phương trình thứ nhất ta được: x y 2(x y 3) x y 2x 2y 6 0 x 3y 6 Thay vào phương trình thứ hai ta được 3y2 8y40 3y2.y2 0 2 Với y 2 x 0. Với y x 4 3  2 Vậy hệ có nghiệm x;y  0;2 ; 4;  3
3. Câu 4. A O B C H M D 3R 3.AO 3R AH a) Kẻ đường cao AH. Ta có AH ; AB 2 R 3 22 sin B sin60 b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên CMD BAC 600 MCD cân có CMD 600 nên CMD là tam giác đều c) Ta có MCD đều nên MC = MD = CD Xét AMC và BDC có AC=BC; MC=CD; ACM BCD 600 BCM Nên AMC BDC(c.g.c) MA BD. Do đó: S MA MB MC =MA MB MD MA BD 2MA lớn nhất
4. Vậy S lớn nhất khi MA là đường kính của đường tròn (O) hay M là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Câu 5. b c a x 2a y z Đặt c a b y 2b z x a b c z 2c z y Ta có y z 9(z x) 16(x y) 1 y 9x z 16x 9z 16y 1 S . 2.3 2.4 2.3.4 19 2x 2y 2z 2 x y x z y z 2 7 5 1 Giá trị nhỏ nhất của S là 19. Đạt được khi và chỉ khi a ;b ;c 8 8 2