Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Gia Lai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Gia Lai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang) Ngày thi: 14/02/2023 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1 (5,0 điểm). 11 1 1 a) Chứng minh rằng: ++ =+1 ( Với k > 0 ). 122k ( k++ 1) 2 kk ( 1) Từ đó hãy tính giá trị biểu thức: 111 111 1 1 1 1 S =+++++++++ + . 1222 2 3 1 222 3 4 1 2 2022 2 2023 2 2023 b) Tìm tất cả các cặp số (;xy ) nguyên thỏa mãn: x2 − xy +++= x y 50. Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho hàm số ymm=(2 −+ 2) xm + 2 − 8 có đồ thị là đường thẳng d . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ ). b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi thứ nhất chảy 8 vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng bồn. 9 Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ? Câu 3 (2,0 điểm). Cho x =++13933. Chứng tỏ xxx32−3 −+ 6 21 là số chia hết cho 5 . Câu 4 (5,0 điểm). Cho đường tròn ()O đường kính BC= 2 R và điểm A thay đổi trên ()O (điểm A không trùng với BC, ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn ()O tại K . Hạ AH vuông góc với BC . a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH22+ KH luôn không đổi. Tính góc B của tam giác 3 ABC biết AH= R . 2 b) Đặt AH= x . Tìm x sao cho diện tích tam giácOAH đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0 điểm). Cho ∆ABC vuông tại A biết AB=3, AC = 4 và AH là đường cao. Gọi I∈ AB sao cho AI= 2 BI , CI cắt AH tại E . Tính CE. Câu 6 (2,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a222++ bc )( b c ) ( b ++ ca )( c a ) ( c + ab )( a + b ) ++ ≥32. ab()22++ c bc ()2 a 2 ca ()22 + b HẾT Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Ngày thi: 14/02/2023 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Câu Ý Đáp án Điểm 11 1 1 Chứng minh rằng: ++ =+1 ( Với k > 0 ). 122k ( k++ 1) 2 kk ( 1) Từ đó hãy tính giá trị biểu thức: 111 111 1 1 1 1 S =+++++++++ + 1222 2 3 1 222 3 4 1 2 2022 2 2023 2 2023 1 1 1kk2 (++++ 1) 2 ( k 1) 22 k ++ = 22 2 2 2 0,5 1k ( k++ 1) kk( 1) kkkkkk4+2 322 +++++ 212 kkkkk4322+2 + 2 +++ 21 = = 0,5 kk22(+ 1) kk22(+ 1) (kk22++ 1) kk2 ++1 = = 0,5 a) kk22(+ 1) kk(+ 1) 3đ kk(++ 1) 1 1 = =1 + (đpcm). 0,5 kk(++ 1) kk ( 1) Ta có: 11 1 1 1 1 0,25 + + =+11 =+− 122k ( k++ 1) 2 kk ( 1) k k +1 Khi đó: 111 111 1 1 1 1 S =+++++++++ + 1222 2 3 1 222 3 4 1 2 2022 2 2023 2 2023 0,5 11 11 1 1 1 =+1 − ++ 1 − + ++ 1 − + 2 3 3 4 2022 2023 2023 1 =2021 += 2021,5 . 0,25 2 1 Tìm tất cả các cặp số (;xy ) nguyên thỏa mãn: x2 − xy +++= x y 50. (5,0đ) Ta có : x22− xy +++=⇔ x y5 0 y ( x − 1) = x ++ x 5 (*) 0,25 b) Với x =1 không thỏa mãn đẳng thức (*) . 2đ xx2 ++57 0,5 Khi đó (*) ⇔=y ⇔=++yx2 xx−−11 Vì xy, nguyên nên suy ra: (x − 1) là ước nguyên của 7 0,25
3. Suy ra: (x − 1) ∈±{ 1; ± 7} 0,25 • x−=⇒1 1 xy = 2 ⇒ = 11 • x−=−⇒=11 xy 0 ⇒ =− 5 0,5 • x−=1 7 ⇒ xy = 8 ⇒ = 11 • x−=−⇒=−⇒17 xy 6 =− 5 Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa ycbt : (2;11), (0;− 5), (8;11), ( −− 6; 5) . 0,25 a) Cho hàm số ymm=(2 −+ 2) xm + 2 − 8 có đồ thị là đường thẳng d . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 (với O là gốc tọa độ). mm2 − +≠20 ∀∈m Vì OAB,, tạo thành tam giác nên : ⇔ 0,25 2m −≠ 80 m ≠ 4 Đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B nên suy ra : −+28m 0,5 A( ;0) &Bm (0; 2− 8) a) mm2 −+2 2đ 1 1−+ 28m Ta có : S∆ =. OAOB . = . .2m −= 8 2 0,5 OAB 22mm2 −+ 2 m22−8 m + 16 = mm −+ 2 ⇔−(m 4)22 = mm −+⇔2 m2 −+= 8 m 16 mm2 −+⇔ 2  22 m−8 m + 16 =−+− mm2 0,5 ⇔=m 2 (TMĐK) 0,25 2 (4,0đ) b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ 8 nữa thì số nước đã chảy vào bằng bồn. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu 9 nước sẽ đầy bồn đó ? Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để mỗi vòi chảy riêng đổ đầy bồn nước, xy>>0, 0 . 0,25 1 1 b) Khi đó, trong 1 giờ : vòi thứ nhất chảy được bồn, vòi thứ hai chảy được bồn. 2đ x y 0,25 38  +=1  xy Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :  0,5 1 11 8 +4 +=  x xy 9  1 381ab+= a = 11  9 Đặt : ab=, = hệ trở thành : 8 ⇔ 0,5 xy 54ab+= 1  9 b =  12
4. Suy ra : xy=9, = 12 . 0,25 Vậy vòi thứ nhất cần 9 (giờ), vòi thứ hai cần 12 (giờ) để chảy riêng một mình thì đầy 0,25 bồn. =++33 32− −+ Cho x 139. Chứng tỏ xxx3 6 21 là số chia hết cho 5. Ta có: xx=++⇔13933 3 3393 =++ 33 0,5 3 2đ ⇔=+++⇔=+x33 33 3 912xx3 3 2 0,5 ⇔3xx33 = + 6 x 2 + 12 x +⇔ 8 x3 − 3 x 2 − 6 x = 4 0,5 Từ đó suy ra : xxx32−3 −+=+= 6 21 4 21 25 là số chia hết cho 5. 0,5 Cho đường tròn ()O đường kính BC= 2 R và điểm A thay đổi trên ()O (điểm A không trùng với BC, ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn ()O tại K . Hạ AH vuông góc với BC . a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH22+ KH luôn không đổi. Tính góc B của 3 tam giác ABC biết AH= R . 2 0,25 a) 4 3đ Góc BAC vuông tại A, AK là đường phân giác trong của góc A nên K là điểm chính ∆ giữa cung BC suy ra OHK vuông tại O . Ta có: OK22+= OH HK 2⇒=+HK22 R OH 2 0,5 Mặt khác AH2+= OH 22 R ⇒=−AH22 R OH 2 2222222 ⇒+=−++=AH HK R OH R OH2 R ( không đổi) 0,5 R 3 ∆OAH vuông tại H có: AH = nên ∆OAH là nửa tam giác đều cạnh bằng R. 2 0,5 Suy ra: AOH = 600 + Nếu H thuộc đoạn OB ∆ = = = 0 Ta có: OAB cân tại O (OA OB R ) có AOB 60 0,5 Tính được ABC = 600
5. + Nếu H thuộc đoạn OC 0,5 Ta có ACB=⇒600 ABC =−= 9000 60 30 0 0 0 Vậy ABC = 60 hoặc ABC = 30 0,25 b) Đặt AH= x . Tìm x sao cho diện tích ∆OAH đạt giá trị lớn nhất. ∆OAH vuông tại H nên: AH2+= OH 22 OA 0,5 ⇒+x2 OH 2 =⇒ R 2 OH 2 =− R 22 x ⇒=OH R22 − x (đvdt) 11 Suy ra: S= AH. OH = x R22 − x OAH 22 0,5 b) Theo bất đẳng thức Cô si: 2đ 11xRx2+− 22 R 2 R2 0,5 Ta có: S= xR22 −≤ x . = , trong đó không đổi OAH 2 22 4 4 2 Dấu “=” xảy ra khi x = Rx22− ⇔ xRx 2 = 22 − ⇒= x R 2 0,5 R2 2 Vậy S đạt giá trị lớn nhất là khi xR= . 4 2 Cho ∆ABC vuông tại A biết AB=3, AC = 4 và AH là đường cao. Gọi I∈ AB sao cho AI= 2 BI , CI cắt AH tại E . Tính CE. 5 2đ 12 Trong ∆ABC có : BC= AB22 += AC 5 , AH = 5 0,5 9 16 BH. BC= AB2 ⇒= BH , CH = 5 5 Dựng IK⊥∈ BC,( K BC ). 1,0 Khi đó dễ dàng tính được :
6. 1 3 22 1 4 BK= BH =; CK = ; IK = AH =; IC = IK22 += CK 2 5 35 5 35 CE CH CI. CH 16 5 Ta có : = ⇒=CE = CI CK CK 11 0,5 Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a222++ bc )( b c ) ( b ++ ca )( c a ) ( c + ab )( a + b ) ++ ≥32. ab()22++ c bc ()2 a 2 ca ()22 + b Ta có: (a2+ bc )( b += c ) a2 b + a 2 c + b 2 c + bc 2 = b()() a 22 + c + c a 22 + b Tương tự: (bcacacba2+)( += ) (2 + 2 ) + abc ( 22 + ) 0,5 (cababacb2+ )( += ) (22 + ) + bca ( 22 + ) Đặt: x=+=+=+ ab(22 c ); y bc ( 22 a ); z cb ( 22 a ) Khi đó: (a222++ bc )( b c ) ( b ++ ca )( c a ) ( c + ab )( a + b ) y + z z + x x + y + + =++ ab()22++ c bc ()2 a 2 ca ()22 + b x y z 6 2đ Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm xyz,,: 0,5 x+≥ y2 xy y+≥ z2 yz z+≥ x2 zx ⇒+(x y )( y + z )( z +≥ x ) 8 xyz yz+++ zx xy Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm: ;; xyz 0,5 yz+ zx + xy +( yzzxxy +++ )( )( ) 3 Ta có: ++ ≥33 ≥=3 8 32 xyz xyz (a222++ bc )( b c ) ( b ++ ca )( c a ) ( c + ab )( a + b ) ⇒ ++ ≥32 (đpcm) ab()22++ c bc ()2 a 2 ca ()22 + b 0,5 Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, đúng và lập luận chặt chẽ vẫn được điểm tối đa. - Điểm toàn bài không làm tròn. Hết
7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán ĐỀ DỰ BỊ Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang) Ngày thi: 14/02/2023 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1 (5,0 điểm). 11 1 a) Tính giá trị biểu thức: S =++ . 1++ 3 3 5 2023 + 2025 b) Tìm tất cả các cặp số (;xy ) nguyên thỏa mãn: x2 −−+ xy3 x 2 y += 70. Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho hàm số y=( m2 −− m 1) xm + có đồ thị là đường thẳng d . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam 1 giác OAB bằng ( với O là gốc tọa độ ). 2 b) Một máy cày lớn và máy cày nhỏ cùng cày một cánh đồng trong 1 ngày rồi giao lại cho máy cày nhỏ thì cần thêm 9 ngày nữa mới cày xong. Nếu cả hai máy cày cùng làm việc thì chỉ cần 4 ngày là cày xong. Hỏi mỗi máy nếu cày riêng thì cần mấy ngày để cày xong cánh đồng đó ? Câu 3 (2,0 điểm). Cho x =++133 7 49 . Chứng tỏ xx32−−+3 18 x 13 là số chính phương . Câu 4 (5,0 điểm). 1 Đoạn thẳng AC có độ dài bằng a , lấy điểm B sao cho AB= AC. Tia Cx vuông góc với AC 4 tại C . Trên tia Cx lấy điểm D bất kỳ (D không trùng với C). Từ B kẽ đường vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K và E . a) Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác BED nhỏ nhất. b) Chứng minh rằng khi D di chuyển trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một cung cố định. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD . Gọi EF, lần lượt là trung điểm của AD và BC . Tìm điều kiện của tứ giác AB+ CD ABCD để EF = . 2 Câu 6 (2,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: a322 b c abc + + ≥++. b333 c a bca HẾT Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.