Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 9 THCS - Sở giáo dục và đào tạo Bình Dương

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 9 THCS - Sở giáo dục và đào tạo Bình Dương

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN - Lớp: 9 THCS ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 15 tháng 05 năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề) Bài 1: (4 điểm.) √ √ 2 − 1 2 + 1 a) Cho a = ; b = Tính a7 + b7. 2 2 b) Giải phương trình sau với x ∈ R √ √ √ √ x2 − 3x + 2 + x + 3 = x2 + 2x − 3 + x − 2. Bài 2: (5 điểm) a) Cho a = n3 + 2n và b = n4 + 3n2 + 1. Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tìm ước chung lớn nhất của a và b. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương Bài 3: (5 điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho m2 + 12 là số chính phương b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và |a| ≤ 1, |b| ≤ 1, |c| ≤ 1 Chứng minh rằng a4 + b6 + c8 ≤ 2. Bài 4: (2 điểm) Trên 3 canh AB, BC, CA của tam giác ABC, lần lượt lấy các điểm M, N, P AM BN CP sao cho = = = k. Gọi S ,S lần lượt là diện tích tam giác MNP và tam MB NC PA MNP ABC 3 giác ABC Tìm k để S = S MNP 8 ABC Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (R là một độ dài cho trước). Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho C thuộc cung ADd và COD\ = 120◦. Gọi giao điểm của hai dây AD và BC là E, giao điểm của các đường thẳng AC và BD là F . a) Chứng minh rằng 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó theo R. b) Tìm giá trị lớn nhât của diện tích tam giác F AB theo R khi C, D thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán. HẾT Biên soạn: Long Nguyễn