Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 9 THCS - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao AD, BE, CF của tam
giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là M.
Đường thẳng qua H và vuông góc với OA cắt BC tại K.
a) Chứng minh
b) Chứng minh đường thẳng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
c) Giả sử điểm A cố định, các điểm B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) thỏa mãn AB.AC =
3R2. Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độ dài đoạn thẳng OF
2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ
BC (M không trùng với B và C). Đường tròn (O′, R′) với (R′ > R) tiếp xúc trong với đường
tròn (O; R) tại điểm M. Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O′; R′) tại
điểm thứ hai là D, E, F . Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O′; R′),
trong đó I, J, K là các tiếp điểm. Chứng minh rằng DE song song với AB và AI = BJ +CK
1 trang
20/03/2023
2080
File đính kèm:
- de_thi_chon_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_nam_hoc_2019_2020_mon_toa.pdf
Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 9 THCS - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam
- SỞ GD&ĐT HÀ NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: TOÁN - Lớp: 9 THCS Ngày thi: 22 tháng 05 năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức √ ! √ 10x + 4 5x 8 + 5x x P = √ − √ √ − 1 5x 5x − 8 5x + 2 5x + 4 2 + 5x 4 với x ≥ 0; x 6= 5 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2,0 điểm) Cho hai đường thẳng d : y = 3 và 1 1 1 2018 2019 2020 d0 : y = + + x + + + m − 1 m m + 1 m − 1 m m + 1 (m là tham số). Tìm điều kiện của tham số m để hai đường thẳng d, d0 cắt nhau. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d và d0, tìm m để độ dài đoạn thẳng OA bằng 5. Bài 3: (4 điểm) 2x2 + x √ 1. Giải phương trình √ + 2 = 2x2 + x + 4. 2x2 + x + 10 ( (x + y)2 = 2xy(xy + 1) 2. Giải hệ phương trình (x + y)(1 + xy) = 2 (x2 + y2) Bài 4: (1,5 điểm) Cho hai số m, n nguyên dương thỏa mãn m là ước của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không phải là số chính phương. Bài 5: (7,0 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là M. Đường thẳng qua H và vuông góc với OA cắt BC tại K. a) Chứng minh BAH\ = OAC[ . b) Chứng minh đường thẳng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). c) Giả sử điểm A cố định, các điểm B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) thỏa mãn AB.AC = 3R2. Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độ dài đoạn thẳng OF 2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC (M không trùng với B và C). Đường tròn (O0,R0) với (R0 > R) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) tại điểm M. Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O0; R0) tại điểm thứ hai là D, E, F . Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O0; R0), trong đó I, J, K là các tiếp điểm. Chứng minh rằng DE song song với AB và AI = BJ +CK Bài 6: (1,5 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng x2y2 y2z2 z2x2 1 + + ≤ 2x2 + 3x2y2 + y2 2y2 + 3y2z2 + z2 2z2 + 3z2x2 + x2 2 HẾT Biên soạn: Long Nguyễn
