Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CỤM CHUYÊN MÔN 3T-H-G NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN, LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Họ và tên thí sinh: SBD: −−4 2 2 3 3 3 Câu 1. (2 điểm) Tính hợp lí + :. + + 7 5 3 7 5 2 34 23 2023 . −− .( 1) Câu 2. (2 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 34 71 . A =−23 25 − 5 . 5 12 9 19 2 4 Câu 3. (2 điểm) Tìm x biết: 3− −x + 2 : − 1 − + = 1 10 10 5 5 xyyz Câu 4. (2 điểm) Tìm 3 số x, y, z biết rằng: = ; = và x + y + z = -110. 3725 Câu 5. (2 điểm) Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng 9.10n + 18 chia hết cho 27 Câu 6. (2 điểm) Tìm số tự nhiênn nhỏ nhất để số 22023 + 23n là một bội số của 31 Câu 7. (2 điểm) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia trồng cây trong vườn trường, lúc đầu thầy phụ trách dự định giao số cây trồng cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó thầy giao theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp trồng nhiều hơn dự định 4 cây. Tính tổng số cây mà ba lớp đã trồng. Câu 8. (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. a) Chứng minh rằng DC = BE. b) Gọi M và N lần lượt là trungđ iểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. Câu 9. (1 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, gọi D là trung điểm của AC. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho DAE= ABD . Chứng minh rằng DAE= ECB . Câu 10. (1 điểm) Cho x là số thực.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=2 x − 1 + 2 x − 2 +  + 2 x − 10 === HẾT === Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN Toán LỚP 7 HDC này gồm 04 trang A. Hướng dẫn chung: - Đề thi và đáp án tính theo thang điểm 20. - Hướng dẫn chấm chỉ là một cách giải. HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng logic, khoa học giám khảo căn cứ vào bài làm cụ thể của HS để cho điểm; điểm cho không được vượt quá thang điểm phần đó. - Câu hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm điểm. B. Đáp án và thang điểm: Câu Ý Nội dung Điểm −−4 2 2 3 3 2 = + :: + + 7 5 3 7 5 3 0,5 −−4 2 3 3 2 0,5 = + + + : 7 5 7 5 3 1 −4 − 3 2 3 2 = + + + : 0,5 7 7 5 5 3 2 ==0: 0 Vậy: A = 0 3 0,5 34 23 2023 . −− .( 1) 9 5 2 34 71 2 .3 .5 71 A =23 − =6 3 3 − 1 25 − 5 2 .3 .5 5 2 . 5 12 72 71 1 AA= −; = 1 5 5 5 Ta có 9 19 2 4 3− − x + 2 : −1− + =1 10 10 5 5 30 9 19 10 4 4 − − x + 2 : − − =1− 10 10 10 10 10 5 0,5 21 5 1 − x + 2 : = 3 10 10 5 21 1 5 1 − x + 2 = . = 0,5 10 5 10 10 21 1 x + 2 = − = 2 10 10 0,5 x + 2 = −2; 2 x = −4; 0 Vậy x = 0; -4 0,5 x y x y y z y z Từ = = ; = = . 0,5 4 3 7 6 14 2 5 14 35 0,25
3. x y z Suy ra == 6 14 35 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,5 x+ y + z − 110 == = -2 6++ 14 35 55 0,5 Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70. 0,25 Vậy x = -12; y = -28; z = - 70. Ta có: 9.10n + 18 = 9( 10n + 2) 9 (1) 0,5 Mặt khác 10n là số có tổng các chữ số là 1 n 0,5 5 Nên 10+ 2 là số có tổng các chữ số là 3 Suy ra: 3 (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra: 27 hay 0,5 Ta có 25 = 32 1(mo d 31) và 2023=5.404+3 0,5 nên: 22022= (2 5 ) 404 .8 8(mod31). 0,5 Suy ra 22023 + 23n  8 + 23 n ( mo d 31) 6 2023 Vì n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn 2+ 23n 31 0,5 nên 8+23n =31 n=1 Vậy: n=1 là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn. 0,5 Gọi tổng số cây 3 lớp đã trồng là x (x là số tự nhiên khác 0) 0,25 Số cây dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c abcabcx++ 5 x 6 xx 7 x Ta có: = = = = a =;; b = = c = (1) 0,5 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số cây sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: abcabcx,,,,,,++ 4 x 5 xx 6 x 7 = = = = a,,, =;; b = = c = (2) 0,5 4 5 6 15 15 15 15 3 15 So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc 0,25 đầu 67x x x Vây: c’ – c = 4 hay − =4 = 4 x = 360 0,25 15 18 90 0,25 Vậy số cây 3 lớp đã trồng là 360 cây. Ta có: AD = AB; DAC= BAE và AC = AE 1 Suy ra ADC = ABE (c.g.c) Suy ra DC=BE 1 8 a
4. E A N D M B C Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và ACM= AEN 0,5 ACM = AEN (c.g.c) AM = AN (1) 0,5 b và CAM= EAN MAN= CAE = 600. (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra AMN đều. 0,5 Vẽ AF vuông góc BD, CG vuông góc BD, CH vuông góc với AE. Ta có ABF = CAH (cạnh huyền – góc nhon). Suy ra: AF = CH. 0,25 ADF = CDG() ch − gn suy ra AF = CG. Từ đó ta có CH = CG. A CEH = CEG(); ch − cgv CEH = CEG Mà 9 CEG= EBC + ECB;; CEH = EAC + ECA 0,25 F Do đó: EBC+ ECB = EAC + ECA; (1) Măt khác: EBA+ EBC = ECB + ECA;(2) D G lấy (1) trừ (2) theo vế ta có: E 0,25 ECB− EBA = EAC − ECB = EBA − ECB =EBA ECB H Mà DAE= ABD nên DAE= ECB . B C 0,25 Ta có: A=2 x − 1 + 2 x − 2 +  2 x − 10 A=( 2 x −+ 1 2 x − 10 ) + ( 2 x −+ 2 2 x −++ 9 ) ( 2 x −+ 5 2 x − 6 ) A=( 2 x −+ 1 10 − 2 x ) + ( 2 x −+− 2 9 2 x ) ++ ( 2 x −+− 5 6 2 x ) 0,25 A 2 x −+ 1 10 − 2 x + 2 x −+− 2 9 2 x ++ 2 x −+− 5 6 2 x 10 =9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 0,25
5. 1 x 5 2 (2xx− 1)(10 − 2 ) 0 9 (2xx− 2)(9 − 2 ) 0 1 x 5 Dấu bằng khi: x 3 2 0,25 2 (2xx− 5)(6 − 2 ) 0 5 x 3 2 5 Vậy GTNN của A là 25 khi x 3 0,25 2