Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Nguyễn Du (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Nguyễn Du (Có đáp án)

1. PHÒNG GD – ĐT ĐÀ LẠT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 21/10/2023 Câu 1. (4.0 điểm) 1.1. Cho ab+=1. Tính giá trị biểu thức: M=2( ab33 +− ) 3( ab 22 + ) 4+− 23 3 2017 1.2. Cho x = . Tính giá trị biểu thức Pxx=( 2 ++1) . ( 5+ 2.) 9 −− 4 5 2 Câu 2. (4.0 điểm) 2.1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 − 76n chia hết cho 6. 2.2. Bạn An mua một số quyển vở và bút máy hết tất cả là 102 nghìn đồng. Biết giá mỗi quyển vở là 12 nghìn đồng, giá mỗi cây bút là 10 nghìn đồng. Hỏi bạn An mua được bao nhiêu quyển vở và bao nhiêu cây bút? Câu 3. (4.0 điểm) 3.1. Định mức giá điện sinh hoạt năm 2021 như sau: Số điện (kWh) Giá bán điện (đồng/kWh) Bậc 1: Từ 0 – 50 kWh 1.678 Bậc 2: Từ 51 – 100 kWh 1.734 Bậc 3: Từ 101 – 200 kWh 2.014 Bậc 4: Từ 201 – 300 kWh 2.536 Bậc 5: Từ 301 – 400 kWh 2.834 Bậc 6: Từ 401 kWh trở lên 2.927 Tiền điện được tính theo bậc, với thuế giá trị gia tăng (GTGT) 10%. a) Trong tháng 6/2021, nhà bạn Xuân sử dụng hết 230 kWh điện. Tính tiền điện nhà bạn Xuân phải trả. b) Cũng trong tháng đó, nhà bác Hạ đã phải trả 548 680 đồng tiền điện. Hỏi nhà bác Hạ đã sử dụng hết bao nhiêu kWh điện? x4 y 4 xy 22+ 3.2. Cho xyab,,, là những số thực khác 0 thỏa mãn += a b ab+ xy2006 2006 2 và xy22+=1 ( ab+≠0 ). Chứng minh rằng : += a1003 b 1003 () ab+ 1003 Câu 4. (4.0 điểm) 4.1. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tính giá trị biểu HD HE HF thức 2022++ +2023 AD BE CF 4.2. Cho hình bình hành ABCD . Một đường thẳng (d) đi qua A cắt đường chéo BD tại P, cắt các 111 đường thẳng BC và CD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng : += AM AN AP
2. Câu 5. (4.0 điểm) 5.1. Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương xy, thỏa x33+ y −= p31 xy − Tìm giá trị lớn nhất của p 5.2. Từ tấm nhôm hình vuông cạnh 6 dm. Người ta muốn cắt một hình thang (phần tô đậm trong hình vẽ). Tìm tổng xy+ để diện tích hình thang cắt được nhỏ nhất. E A 2 cm B x cm H 3 cm F D G y cm C Hết (Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)
3. HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Cho ab+=1. Tính giá trị biểu thức: M=2( ab33 +− ) 3( ab 22 + ) Câu 1.1 32 M=2( a33 +− b ) 3( a 22 += b ) 2( ab +−) 3 abab( +−)3( ab +−) 2 ab  (2,0    1,0 đ 32 =26(ab +) − abab( +−) 36( ab +) + ab điểm) 0,5 đ 32 =−2.1 6.ab .1 +−=− 6 ab 3.1 1 0,5 đ 4+− 23 3 2017 Cho x = . Tính giá trị biểu thức Pxx=( 2 ++1) . 5+ 2. 9 −− 4 5 2 Câu 1.2 ( ) 2 (2,0 ( 31+−) 3 31+− 3 x = = = −1 1,5 đ 2 (5−− 4) 2 điểm) ( 52+) ( 52 −−) 2 2017 Pxx=( 2 ++11) = 0,5 đ Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 − 76n chia hết cho 6. nn33−76nn =( −−) n 0,5 đ Câu 2.1 n3 −=n( n −11) nn( +) 0,5 đ (2,0 điểm ) Lý luận, chứng minh được (n−+1) nn( 16) (nêu không nêu được 2,3 nguyên 0,5 đ tố cùng nhau thì cho 0,25 đ Nêu được 6n  6 , từ đó suy ra đpcm 0,5 đ Bạn An mua một số quyển vở và bút máy hết tất cả là 102 nghìn đồng. Biết giá mỗi quyển vở là 12 nghìn đồng, giá mỗi cây bút là 10 nghìn đồng. Hỏi bạn An mua được bao nhiêu quyển vở và bao nhiêu cây bút? Gọi x là số quyển vở , y là số cây bút máy ( xy, ∈ * ) 0,25 đ Lập được phương trình 12x+ 10 y = 102 ⇔+= 6 xy 5 51 0,25 đ Câu 2.2 51− 5y (2,0 ⇔5y = 51 − 6 xx ⇔= 0,25 đ điểm ) 6 51 Lý luận suy ra được 5yy< 51 ⇒< < 11 5 0,75 đ Vì 51− 6x 3 và (3; 5) = 1 ⇒ y  3 Suy ra y = 3 hoặc y = 6 hoặc y = 9 Với yx=⇒=36 (thỏa mãn) 0,25 đ Với yx=⇒=91 (thỏa mãn)
4. Kết luận 0,25 đ Định mức giá điện sinh hoạt năm 2021 như sau: Số điện (kWh) Giá bán điện (đồng/kWh) Bậc 1: Từ 0 – 50 kWh 1.678 Bậc 2: Từ 51 – 100 kWh 1.734 Bậc 3: Từ 101 – 200 kWh 2.014 Bậc 4: Từ 201 – 300 kWh 2.536 Câu 3.1 Bậc 5: Từ 301 – 400 kWh 2.834 (2,0 Bậc 6: Từ 401 kWh trở lên 2.927 điểm ) Tiền điện được tính theo bậc, với thuế giá trị gia tăng (GTGT) 10%. a) Trong tháng 6/2021, nhà bạn Xuân sử dụng hết 230 kWh điện. Tính tiền điện nhà bạn Xuân phải trả. b) Cũng trong tháng đó, nhà bác Hạ đã phải trả 548 680 đồng tiền điện. Hỏi nhà bác Hạ đã sử dụng hết bao nhiêu kWh điện? a) Tính đúng 492 888 đồng 1,0 đ b) Tính đúng 250kWh 1,0 đ x4 y 4 xy 22+ Cho xyab,,, là những số thực khác 0 thỏa mãn += a b ab+ xy2006 2006 2 và xy22+=1 ( ab+≠0 ). Chứng minh rằng : += a1003 b 1003 () ab+ 1003 22 222 x4 y 4 xy 22+ ( xy++).1 ( xy) 0,5 đ Câu 3.2 += = = a b ab++ ab ab + 4 4 2 22 (2,0 bx++ ay() x y 4 4 2 22 ⇔ = ⇔(bx + ay )( a += b ) ab ( x + y ) 0,25 đ điểm ) ab a+ b ⇔+++=+abx4 b 24 x a 24 y aby 4 abx 422 abx 22 y +⇔− aby 4 b 24 x abx 22 y += a 24 y 0, 5 đ x2 y 2 xy 22+ 1 ⇔(bx2 − ay 22 )0 =⇔= bx2 ay 2 ⇔== = a b ab++ ab 0,75 đ xy22 1 xy2006 2006 2 ⇔==()2003 ()2003 ⇒+= a b() ab+ 2003 a1003 b 1003 () ab+ 1003 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tính giá trị HD HE HF biểu thức 2022++ +2023 AD BE CF HD S A Câu 4.1 Chứng minh được = HBC 0,5 đ AD S (2,0 ABC HE S HF S E 0,5 đ điểm ) ; = AHC ; = AHB BE S CF S ABC ABC F 0,5 đ HD HE HF ⇒++=1 H AD BE CF C B D
5. HD HE HF 0,5 đ ⇒2022 ++ +2023 = 4045 AD BE CF Cho hình bình hành ABCD . Một đường thẳng (d) đi qua A cắt đường chéo BD tại P, cắt các đường thẳng BC và CD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng : 111 += AM AN AP AP DP AD//BM ⇒=; A B AM DB Câu 4.2 AP BP AB// MN ⇒= 0,5 đ (2,0 PN BD 0,5 đ điểm ) P AP AP BP DP ⇒ +=+=1 AM PN BD DB 0,5 đ D 111 N C ⇒ += AM AN AP 0,5 đ M Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương xy, thỏa x33+ y −= p31 xy −. Tìm giá trị lớn nhất của p p=++− x3 y 331 3.1 xy =++( x y1)( x2 ++−−− y 2 1 x y xy) 0,25 đ Do x, y nguyên dương nên xy++>11 và p là số nguyên tố nên xy+ +=1 p (1) 0,5 đ  22 x+ y +−1 x − y − xy =1 (2) 2 ( xy+ ) 0,25 đ Câu 5.1 Chứng minh được xy ≤ 4 (2,0 0,25đ 223 điểm ) (2) ⇔+( xy) −+( xy) =3 xy ≤( xy +) 4 22 ⇔+−+≤+4( xy) 43( xy) ( xy) 2 ⇔+( xy) −40( xy +≤) 0,25 đ ⇔( xyxy +)( +−40) ≤ ⇔≤+≤04xy ⇔≤1xy + +≤ 15 0,25 đ ⇔≤15p ≤ 0,25 đ Vậy GTLN của P là 5 khi x = y = 2. Từ tấm nhôm hình vuông cạnh 6 dm. Người ta muốn cắt một hình thang (phần Câu 5.2 tô đậm trong hình vẽ). Tìm tổng xy+ để diện tích hình thang cắt được nhỏ nhất.
6. (2,0 E điểm ) A 2 cm B x cm H 3 cm F D G y cm C Diện tích hình thang nhỏ nhất khi SS=++ S S lớn nhất. AEH CGF DGH 0,25 đ =++− −=−−+ Ta có: 2S 2 x 3 y (6 x )(6 y ) xy 4 x 3 y 36 (1) 0,25 đ AE AH Mà hai tam giác AEH và CGF đồng dạng nên = ⇒=xy 6 (2) 0,5 đ CG CF 18 Thay (2) vào (1) ta có: 2Sx=−+ 42 4 x 0,25 đ 18 2S lớn nhất khi 4x + nhỏ nhất x 0,25 đ 18 3 2 7 2 ⇒4x = ⇔= x ⇒= y22 ⇒+= xy . 0,5 đ x 22 ( HS giải cách khác giám khảo tự phân bước cho điểm)