Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Lưu Hoàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Lưu Hoàng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: Toán - Lớp: 10 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + 1 – m2 (m là tham số). a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2). b) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6. Câu 2 (6 điểm). 3(4x2 9) a) Giải phương trình: 2x 3 3x2 3 b) Tìm m để phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = m có nghiệm. 9 3x y 3 2x y y 5 c) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 (x y)(x xy y 3) 3(x y ) 2 Câu 3 (6 điểm). a) Cho ABC và hai điểm M, N thay đổi sao cho: MN 4MA MB 2MC . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định. b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 . Đặt a = BC, b = AC, c = AB. Chứng 4 minh rằng: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2. c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 3). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc AMˆB bằng 450 . Câu 4 (2 điểm). Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ lên 200.000đ/1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất? Câu 5 (2 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm 1 2020 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A . x2 y2 z2 xy yz zx HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - Lớp: 10 I. Hướng dẫn chung II. Đáp án và thang điểm Câu Đáp án Điểm a) Phương trình hoành độ giao điểm: 0.5 x2 2(m 1)x 1 m2 0 x2 2(m 1)x m2 1 0 (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: 0.5 ' 0 (m 1)2 m2 1 0 2m 2 0 m 1. Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x1, x2 .   0.5 Tọa độ các giao điểm A, B là A(x1;0), B(x2 ;0) ; KA (x 2;2), KB (x 2;2) .   1 2 Câu 1 KA  KB KA. KB 0 (x1 2)(x2 2) 4 0 x1x2 2(x1 x2 ) 8 0 (4 điểm) 2 2 m 1 m 1 2.2(m 1) 8 0 m 4m 3 0 . 0.5 m 3 Kết hợp điều kiện m 1, ta được m 1, m 3. b) y x2 2(m 1)x 1 m2 y x2 2(m 1)x (m 1)2 (m 1)2 1 m2 0.5 y (x m 1)2 2m 2. y 2m 2, với mọi x R. 0.5 Dấu " " xảy ra khi x m 1. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2m 2. 0.5 Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2m 2 6 m 2 . 0.5 a) Điều kiện: x 1 0.5 2 3(4x 9) 2 Phương trình 2x 3 3(2x 3)(2x 3) (2x 3) 3x 3 0.5 3x2 3 3 x 2x 3 0 2 0.5 2 2x 3 0 3x 3 3(2x 3) 2 2 3x 3 9(2x 3) Câu 2 3 x (6 điểm) 2 3 x 3 2 x . Vậy phương trình có hai nghiệm x = - 0.5 2 x 2 2 33x 108x 84 0 3/2, x = 2. b) Điều kiện: x R. Phương trình (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = m (1) 0.5 Đặt t = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2, điều kiện t 0. (1) (t – 9) (t – 1) = m 0.5 t2 – 10t + 9 = m (2), t 0 Xét hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t 0. 0.5
3. Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm t 0 Đường thẳng y = m có điểm 0.5 chung với đồ thị hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t 0 m -16. 3x y 3 0 3 3 c) Điều kiện: . Từ phương trình (1) (x – 1) = (y + 1) y = x – 2. 0.5 2x y 0 Với y = x – 2 thay vào (2), ta được: 9 4x 1 3x 2 x 3 9 4x 1 3x 2 4x 1 3x 2 (x 3) 4x 1 3x 2 0.5 4x 1 3x 2 9 4x 1 3x 2 9 ( 4x 1 5) ( 3x 2 4) 0 4x 24 3x 18 4 3 0.5 0 (x 6) 0 4x 1 5 3x 2 4 4x 1 5 3x 2 4 4 3 x = 6, vì 0. Vậy hệ có nghiệm (6; 4) 0.5 4x 1 5 3x 2 4    a) Gọi I là điểm thỏa mãn 4IA IB 2IC 0    B 3IA AB 2AC 0 0.5 I A C D        1  3IA 2AC AB AD AB BD IA BD 0.5 3 Với D là điểm thỏa mãn C là trung điểm của đoạn AD. Vì A, B, C cố định nên D cố 0.5 định, suy ra I cố định. Suy ra M, N, I thẳng hàng hay MN đi qua điểm I cố định. 0.5 a b2 c2 a 2 abc Câu 3 b) Áp dụng các: sin A ; cos A ; S 0.5 (6 điểm) 2R 2bc 4R cos A b2 c2 a2 b2 c2 a2 Suy ra: cot A sin A abc 4S 0.5 R a2 c2 b2 a2 b2 c2 Tương tự: cot B ; cot C 0.5 4S 4S Suy ra: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2. 0.5   c) Điểm M mằm trên trục hoành nên gọi M(m;0) , MA (1 m;2), MB (4 m;3) 0.5 (1 m)(4 m) 2.3 cos450 (1 m)2 22 (4 m)2 32 0.5 4 3 2 2 2 m 10m 44m 110m 75 0 (m 6m 5)(m 4m 15) 0 0.5 m =1 hoặc m = 5 . Kết luận: M(1;0) hoặc M(5;0). 0.5 Câu 4 Gọi 2x là số phòng trống (x N, 0 x < 16). Số phòng cho thuê là 32 – 2x; giá tiền 0.5
4. (2 điểm) 1 phòng là: (2000 + 200x) ngàn. Số tiền thu được trong 1 tháng là: T = (32 – 2x)(2000 + 200x) ngàn 0.5 2 16 x 10 x Áp dụng BĐT cosi, ta được: T = 400(16 – x)(10 + x) 400 67600 0.5 2 Dấu bằng xảy ra khi x = 3, vậy để có thu nhập mỗi tháng cao nhất thì giá là 0.5 2.600.000đ/1 phòng. 1 1 1 9 Chứng minh BĐT: (*) với mọi x, y, z > 0. Đẳng thức xảy ra khi x y z x y z 0.5 x = y = z. (x y z)2 Chứng minh BĐT: xy yz zx 3 , đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. 0.5 3 1 1 1 2018 Khi đó: A Câu 5 x2 y2 z2 xy yz zx xy yz zx xy yz zx (2 điểm) 9 2018 0.5 x2 y2 z2 xy yz zx xy yz zx xy yz zx 9 2018 2021 (x y z)2 xy yz zx 3 2021 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . 0.5 3