Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Hương Khê (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Hương Khê (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 7 HƯƠNG KHÊ NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán 7 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 120 phút) I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ điền kết quả vào tờ giấy thi) −47 37 4 Câu 1: Tính giá trị biểu thức A.= −− . . 7 11 7 11 11 3 Câu 2: Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số độ dài hai cạnh của nó bằng và chu 5 vi bằng 48 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó. Câu 3: Một hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước đáy dưới là 4 cm, 5 cm và chiều cao là 12 cm. Hỏi hộp sữa đựng bao nhiêu mililit sữa? (biết hộp sữa đựng đầy và 1cm3 = 1ml) Câu 4: Một bánh răng có 40 răng, quay mỗi phút được 15 vòng, nó khớp với một bánh răng thứ hai. Giả sử bánh răng thứ hai quay một phút được 20 vòng. Hỏi bánh răng thứ hai có bao nhiêu răng? 11 1 1 Câu 5: Tính giá trị biểu thức: B = + + ++ . 4.9 9.14 14.19 44.49 Câu 6: Cho đa thức f(x) xác định với mọi x thỏa mãn: x.f(x + 2) = (x2 – 9).f(x). Tính f(5)+f(7). Câu 7: Một hộp đựng 60 viên bi trong đó có 15 viên bi màu xanh, 15 viên bi màu đỏ, 15 viên bi màu vàng và 15 viên bi màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó có không ít hơn 8 viên bi cùng màu? 1− 2x Câu 8: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nguyên C = x3+ Câu 9: Cho tam giác ABC có số đo góc A bằng 700 . Hai tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại I. Tính số đo góc BIC. Câu 10: Cho tam giác ABC cân tại A, ∠=A 800 . Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho ∠=IBC 100 , ∠=ICB 300 . Tính ∠AIB . II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải đầy đủ vào tờ giấy thi) x1− 2 Câu 11: a) Tìm x, biết: = . 8 x1− 5x+ 5 b) Tìm x, y biết: = và x + y = 26. 8y+ 8 ac ac22+ a Câu 12: a) Cho = . Chứng minh rằng: = . cb bc22+ b b) Tìm các số nguyên x, y biết: x + 2xy - y – 4 = 0. Câu 13: Cho tam giác ABC vuông ở A, có số đo góc C bằng 300, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD= HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác đều; b) AH = CE; c) HE song song với AC. 2x++ 3y 4z Câu 14: a) Cho x, y, z thỏa mãn:3x= 2y;5y = 4z . Tính: P = . 3x+− 4y 5z b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Hết Thí sinh không được dùng tài liệu và máy tính cầm tay Họ và tên thí sinh . Số báo danh
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN 7 I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (10 câu, mỗi câu 1 điểm) Câu Hướng dẫn giải Kết quả −473747 −− 43 4 74 1 A.= − . −= −−= −=−1 A = -1 7 11 7 11 11 11 7 7 11 11 11 Chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật lần lượt là x (m); y(m) ( x,y>0)> x3 Diện tích hình chữ Theo bài ra ta có: =;x += y 24 2 y5 nhật = = 2 x= 9(m); y = 15(m) S 9.15 135m Diện tích mảnh vườn là: S= 9.15 = 135m2 Thể tích hộp sữa là: 4.5.12 = 240 cm3 Hộp sữa đựng 240 3 Hộp sữa đựng 240 ml sữa ml sữa Số răng của bánh xe thứ 2 là x. Bánh xe thứ hai có 4 Ta có: 40.15 = 20.x ⇒= x 30 30 răng 11 1 1 B = + + ++ 4.9 9.14 14.19 44.49 15 5 5 5 = + + ++ 5 4.9 9.14 14.19 44.49 9 5 B = 11111 1 1 1 196 = −+− + −+ − 5 4 9 9 14 14 44 49 1 1 1  1 45  9 = −=   = 5 4 49  5 4.49  196 3.ff( 3 += 2) ( 32 – 9) .( 3) ⇒=f (5) 0; 6 5.ff( 5 += 2) (52 – 9). ( 5) =⇒= 0f (7) 0; ff(5)+= (7) 0 ⇒+=ff(5) (7) 0 7 Cần lấy số viên bi là: 4.7+= 1 29 29 viên bi 1− 2x 7−+ 2x( 3) 7 C2= = = − x3+ x3 ++ x3 x∈−{ 10; − 4; − 2; 4} 8 Giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên khi: (x+ 3) ∈±{ 1; ± 7} ⇒ x ∈−{ 10; − 4; − 2; 4} 18000− 70 9 ∠=BIC 18000 − =125 ∠=BIC 1250 2 Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường E thẳng BC, chứa điểm A dựng tam giác đều BCE. A Vì ∆ ABC cân tại A, A = 800 nên 0 0 ABC= ACB = 50 ⇒ ABE= ACE =10 I 0 10 và điểm A thuộc miền trong ∆ BCE. B C ∠=AIB 70 Dẽ dàng chứng minh được ∆ ABE = ∆ ICB (g. c. g) ⇒ BA = BI ⇒ ∆ ABI cân tại B, ta có 1400 ABI = 5000−= 10 40 0 ⇒ AIB = = 700 2
3. II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải đầy đủ vào tờ giấy thi) Câu Hướng dẫn giải Điểm x1− 2 2 x14−= x = 5 11a = ⇔−()x 1 =⇔ 16  ⇔ 8 x1− x1−=− 4 x =− 3 1.5 1.5đ  (Thiếu 1 giá trị trừ 0.5) 5x++ 5 5x 8+ y 13 ++ x y 39 =⇒== ==3 0.5 8y858+ 1 313 11b 5x+ 8y+ 1.5đ Do đó =⇒=3 x 10 ; =⇒=3 x 16 0.5 5 8 Vậy x = 10; y = 16 0.5 ac =⇒=c2 ab và a, b, c≠ 0;a +≠ b 0 0.5 12a cb 1đ ac22++ aaba(ab)a 2 + Do đó = = = .( vì ab0+≠) 0.5 b22++ c b 2 ab b(a + b) b Ta có: x +2xy - y – 4 = 0  2x + 4xy - 2y – 8 = 0  2x + 4xy - 2y – 1 = 7 0.5  2x(1 + 2y) – (1 + 2y) = 7  (2x – 1)(1 + 2y) = 7 12b Lập bảng : 1đ 2x – 1 1 7 -1 -7 1 + 2y 7 1 -7 -1 x 1 4 0 -3 0.5 y 3 0 -4 -1 Vậy ()()()()()x ; y={ 1;3 , 4;0 , 0;− 4 , −− 3; 1 } a) ∆ABD có AH vừa là đường cao vừa A là đường trung tuyến nên ∆ABD cân tại A.   0 D Ta có: BC+=90 (Hai góc nhọn của một C 1.0 tam giác vuông) B H ⇒=B 9000 − 30 = 60 0 E Nên ∆ABD là tam giác đều. (đpcm) b) Ta có: EAC = BAC − ABD =−=9000 60 30 0 1.0 13 ⇒∆AHC =∆ CEA (cạnh huyền –góc nhọn) Do đó AH = CE (đpcm) c) ∆=∆AHC CEA (cmt) nên HC = EA (1) ∆ADC cân ở D vì có ADC= DCA = 300 ⇒∆DAC cân ở D. Suy ra : DA = DC. (2) Từ (1) và (2) ⇒DH = DE ⇒∆ DHE cân tại D 1.0 Hai tam giác cân: ∆ACD cân tại D và ∆DHE cân tại D có: ADC= HDE (đđ) ⇒=DHE ADC ở vị trí so le trong ⇒ EH// AC (đpcm) xy z 3x= 2y;5y = 4z ⇒= = 0.25 8 12 15 14a Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : x y z 2x++ 3y 4z 3x +− 4y 5z 2x ++ 3y 4z 3x +− 4y 5z === ⇒= 0.5 8 12 15 8.2++ 12.3 15.4 8.3 +− 12.4 15.5 112 −3
4. 2x++ 3y 4z 112 P = = − 0.25 3x+− 4y 5z 3 a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta có : 22 0.5 abc+>⇒ c(ab)c + > ⇔ cabcc. + > 14b Tương tự : ab+> ac a 2 ; ba+> bc b2 0.25 Do đó: ca+++++>++ bc ab ac ba bc c222 a b 0.25 Hay: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tối đa.