Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Bảo (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Bảo (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013-2014 HUYỆN VĨNH BẢO MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: x y x y x y 2xy P : 1 . 1 xy 1 xy 1 xy a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tính giá trị của P với x . 23 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là 13 đồ thị của hai hàm số: yx và yx . 22 a) Vẽ đồ thị (D) và (L). b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông. Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4 5x 3 38x 2 5x 6 0. Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: . AM2 AI 2 a 2 Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. b) MN  AD. c) ME.MA = MF.MD. Hết
2. UBND HUYỆN ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9 Bài Đáp án Điểm 1 ĐKXĐ: x 0;y 0;xy 1. 0,5 đ a) Mẫu thức chung là 1 – xy ( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy P: 0,5 đ 1 xy 1 xy xxy yyx xxy yyx 1 xy . 0,5 đ 1 xy 1 x y xy 2( x y x) 2 x(1 y) 2 x 0,5 đ (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x b) 2 2(2 3) 2 x 3 2 3 1 ( 3 1) 0,5 đ 23 43 x ( 3 1)2 3 1 3 1 0,5 đ 2( 3 1) 2 3 2 P 0,5 đ 1 ( 3 1)2 1 3 2 3 1 2( 3 1) 6 3 2 P 0,5 đ 5 2 3 13 2 3 13 x 0 y a) Đồ thị yx có : 2 0,5 đ 22 y 0 x 3 x khi x 0 Đồ thị yx x khi x 0 0,5 đ Đồ thị như hình vẽ: 1 đ b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3) 0,5 đ
3. Ta có: OM = 122 1 2 OM2 = 2 22 2 ON = 3 ( 3) 3 2 ON = 18 0,5 đ MN = (1 3)22 (1 3) 20 MN2 = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 0,5 đ Vậy: tam giác OMN vuông tại O 0,5 đ 3 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được: 56 6x2 5x 38 0 xx2 2 11 6(x 2 )5(x )380 1 đ xx 1 1 Đặt yx thì: x22 y 2 x x2 2 Ta được pt: 6y – 5y – 50 = 0 (3y – 10)(2y + 5) = 0 10 5 Do đó: y và y 1 đ 32 10 1 10 * Với y thì: x 3x2 10x 3 0 3 x3 1 x (3x – 1)(x – 3) = 0 1 3 1 đ x3 2 5 15 * Với y thì: x 2x2 5x 2 0 2 x2 1 x (2x + 1)(x + 3) = 0 3 2 1 đ x24 4 A B M J D C I Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD tại J. 0,5 đ Ta có AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 1 1 (1) AD2 AJ 2 AI 2 0,5 đ Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có: AB = AD = a; DAJ BAM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
4. ADJ = ABM. Suy ra: AJ = AM 0,5 đ 1 1 1 1 Thay vào (1) ta được: (đpcm) AD2 AM 2 AI 2 a 2 0,5 đ 5 M E I F H A O D B C O / N a) Ta có AEB CFD 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên: OE  EF và OF EF => OE // O/F 0,5 đ / / => EOB FO D (góc đồng vị) => EAO FCO 0,5 đ Do đó MA // FN, mà EB  MA => EB FN Hay ENF 900 . 0,5 đ Tứ giác MENF có E N F 90O , nên MENF là hình chữ nhật 0,5 đ b) Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD Vì MENF là hình chữ nhật, nên IFN INF 0,5 đ / 1 Mặt khác, trong đường tròn (O ): IFN FDC sđ FC 2 0,5 đ => FDC HNC 0,5 đ Suy ra FDC đồng dạng HNC (g – g) 0,5 đ => NHC DFC 90O hay MN  AD c) Do MENF là hình chữ nhật, nên MFE FEN 0,5 đ 1 Trong đường tròn (O) có: FEN EAB sđ EB 2 0,5 đ => MFE EAB Suy ra MEFđồng dạng MDA (g – g) 0,5 đ ME MF => , hay ME.MA = MF.MD 0,5 đ MD MA