Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Cầu Kè (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Cầu Kè (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN CẦU KÈ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) 2 x x 1 2 x 1 Bài 1: Với x > 0, cho hai biểu thức: A và B . x x x x 1) Tính giá trị của A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3 3) Tìm x để . B 2 Bài 2: Một người mua 30 con chim gồm 3 loại: chim sẻ, chim ngói và chim bồ câu, hết tất cả 30 đồng. Biết 3 con chim sẻ giá 1 đồng, 2 con chim ngói giá 1 đồng và mỗi con bồ câu giá 2 đồng. Hỏi người đó mua mỗi loại bao nhiêu con? 2 2 Bài 3: Cho ba đường thẳng (d1): y m 1 x m 5 với m 1; (d2): y x 1 ; (d3): y x 3. 1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d1) luôn đi qua một điểm cố định. 2) Chứng minh rằng nếu (d1) // (d3) thì (d1)  (d2). a b Bài 4: Cho 2a 2 2b2 5ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức: . a b Bài 5: Giải phương trình: x4 5x3 10x 4 0 . x2 3xy 2y2 0 Bài 6: Giải hệ phương trình: . 2 2x 3xy 5 0 Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) và dây BC với số đo của góc BOC bằng 1200. Các tiếp tuyến vẽ tại B và C với đường tròn (O) cắt nhau tại A. 1) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. 2) Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại K với đường tròn (O) cắt AB tại M, cắt AC tại N. Tính số đo của góc MON? 3) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BC với OM và ON. Chứng minh rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác OPQ? Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm. Hình vuông ADEF cạnh 2 cm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Tính AB, AC. HẾT
2. UBND HUYỆN CẦU KÈ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC : 2014 - 2015 PHÒNG GD - ĐT MÔN : TOÁN - LỚP 9 Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm 1 1 5 1 đ Thay x = 64 vào A ta được: A (3 đ) 4 2 x 1 2 x 1 x 2 x x 2 1 đ B x x( x 1) x( x 1) x 1 3 A x 1 3 0,5 đ Ta có: (1) B x 2 Vì x > 0 nên x 0 , với điều kiện đó giải ra ta được: x < 4. A 3 Vậy để thì 0 < x < 4 0,5 đ B 2 2 Gọi số chim sẻ là x, số chim ngói là y và số chim bồ câu là z (x, y, z là số (2 đ) nguyên dương) Ta có hệ phương trình: x y z 30 1 1 0,5 đ x y 2z 30 3 2 2x 2y 2z 60 1 1 x y 2z 30 3 2 Trừ từng vế của 2 phương trình ta được: y + 10 z = 120 y 0,5 đ Hay z 12 10 Để z nguyên dương thì y phải là bội của 10 và nhỏ hơn 30. 0,5 đ Thử chọn, chỉ có y = 10 là phù hợp. tính được x = 9, z = 11. Vậy có 9 con chim sẻ, 10 con chim ngói và 11 con chim bồ câu. 0,5 đ 3 1 y m2 1 x m 5 m2 x 1 x 5 (2 đ) 0,5 đ m2 x 1 x 5 y 0 (*)
3. x 1 0 x 1 Để (*) thỏa mãn với mọi m x 5 y 0 y 4 0,5 đ Vậy khi m thay đổi thì (d1) luôn đi qua một điểm cố định là điểm 1; 4 2 m2 1 1 Vì (d ) // (d ) nên m 0 1 3 2 m 5 3 0,5 đ Với m = 0 thì (d1) trở thành y x 5 . Hai đường thẳng (d1) và (d2) có 0,5 đ tích các hệ số góc là 1 .1 1 nên (d1)  (d2) 4 Ta có 2a 2 2b2 5ab 2a 2 2b2 5ab 0 (2đ) 1 đ 2a 2 ab 4ab 2b2 0 (2a b)(a 2b) 0 Do b > a > 0, nên a – 2b 2a – b = 0 hay b = 2a. 0,5 đ a b a 2a 3a Vậy: 3 0,5 đ a b a 2a a 5 x4 5x3 10x 4 0 (2 đ) Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình; 4 2 Chia cả 2 vế của phương trình ta được: 2 x 2 5 x 0 x x 2 4 4 Đặt : t x t2 x2 4 x2 t2 4 0,5 đ x x2 x2 2 t 1 Ta có phương trình: t 5t 4 0 0,5 đ t 4 2 2 x1 1 0,5 đ * t = 1 thì x 1 x x 2 0 x x2 2 2 x 2 6 0,5 đ * t = 4 thì x 4 x2 4x 2 0 3 x x4 2 6 6 x2 3xy 2y2 0 (2 đ) 2 2x 3xy 5 0 Từ phương trình thứ nhất suy ra: 0,5 đ x2 xy 2xy 2y2 0 (x y)(x 2y) 0 x y 0 x y x 2y 0 x 2y 0,5 đ
4. * Với x = y thay vào phương trình (2) ta được: y2 5 0 y 5 x y 5 0,5 đ * Với x = 2y thay vào phương trình (2) ta được: 2y2 5 0 , phương trình này vô nghiệm. 0,5 đ 7 Vẽ (3 đ) hình đúng O 0,5 đ B P Q C M K N A 1 Theo định lí về hai hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: 0,5 đ AB = AC ABC cân tại A (1) Do B· OC 1200 s®B»C 1200 1 Xét tam giác ABC, ta có : A· BC A· CB s®B»C .1200 600 (2) 2 ( ·ABC và ·ACB là góc tạo dây cung và tiếp tuyến) Từ (1) và (2) suy ra: ABC là tam giác đều Vậy ABC là tam giác đều. 0,5 đ 2 Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có : 1 OM là phân giác góc B· OK M· OK .B· OK 2 1 ON là phân giác góc K· OC K· ON .K· OC 0,5 đ 2 1 1 1 Ta có : M· OK K· ON .B· OK .K· OC B· OK K· OC 2 2 2 1 1 M· ON B· OC .1200 600 2 2 0,5 đ Vậy: M· ON 600
5. 3 Do P· OQ Q· CN 600 và O· QP C· QN 0,5 đ Nên: OPQ : CNQ , do đó : O· PQ C· NQ Mà: C· NQ M· NO ( Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra: O· PQ M· NO 0,5 đ Xét OPQ và OMN Có: O· PQ M· NO (cmt) và P· OQ là góc chung 0,5 đ Do đó: OPQ : OMN ; Vậy OPQ : OMN 8 (4 đ) 0,5 đ 0,5 đ Đặt DB = x, FC = y (x > 0, y > 0) x 2 0,5 đ BDE EFC (g-g). Nên xy 4 1 2 y 2 2 2 Ta có: AB2 AC2 BC2 . Hay x 2 y 2 3 5 45 2 2 2 x y 4 x y 37 x y 2xy 4 x y 37 0,5 đ 2 x y 4 x y 45 0 (do xy = 4) Đặt t = x + y >0, pt thành: t 2 4t 45 0 t 2 9t 5t 45 0 0,5 đ t 9 t 5 0 t = -9 (loại); t = 5 (thỏa mãn) 0,5đ Do t = 5 x + y = 5 y = 5 – x (2) 0,5 đ 2 Thay (2) vào (1), được: x 5x 4 0 x 1 x 4 0 0,5 đ * Với x = 1 thì y = 5 - 1 = 4, khi đó AB = 3cm, AC = 6cm. * Với x = 4 thì y = 5 - 4 = 1, khi đó AB = 6cm, AC = 3cm. Ghi chú: thí sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần của bài đó./.