Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 10 năm học 2019-2020 môn Toán - Trường THPT Trần Phú (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 10 năm học 2019-2020 môn Toán - Trường THPT Trần Phú (Có đáp án)

1. THI HSG TOÁN SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 ĐỀ THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MÔN: TOÁN –THPT Thời gian: 120 phút ĐỀ BÀI Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số y m 2 x2 2 m 1 x m 2 ( m là tham số). a) Biết đồ thị là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng 3m . Xác định giá trị của m . b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 . Câu 2: (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau tại điểm M , tọa độ điểm A(− 2;− 2), B(0; 4) và C(7;3) .       a) Tìm tọa độ điểm E để EA+ EB+2 EC =0 và tìm giá trị nhỏ nhất của PA+ PB+2 PC biết P là điểm di động trên trục hoành. b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D Câu 3: (5,0 điểm) Cho phương trình 2x3+mx2+2 xm−=x +1 ( m là tham số). a) Giải phương trình với m =−3 . b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh BC , CA sao cho BM= a , CN= 2a .   a. Tìm giá trị của tích vô hướng AM⋅ BC theo a . b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN . Tính độ dài PN theo a . Câu 5: (2,0 điểm) Cho hàm số fx() = x4−4x2+5+m ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn  nhất của hàm số đã cho trên đoạn −2; 5 đạt giá trị nhỏ nhất. HẾT Trang 1
2. THI HSG TOÁN SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 ĐỀ THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MÔN: TOÁN –THPT Thời gian: 120 phút HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (5,0 điểm). Cho hàm số y m 2 x2 2 m 1 x m 2 ( m là tham số). a) Biết đồ thị là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng 3m . Xác định giá trị của m . b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 . Lời giải: a) Để đồ thị là một đường parabol thì m 2 0 m 2. 2m 5 Đồ thị có tung độ đỉnh bằng 3m 3m 2m 5 3mm 2 m 2 m 1 2 3m 8m 5 0 5 tm . m 3 m 1 Vậy 5 . m 3 b) Để hàm số nghịch biến trên ;2 thì m 2 . m 1 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ; m 2 m 1 Ta được: 2 m 1 2 m 2 do m 2 0 . m 2 m 1 2m 4 m 3 Vậy 2 m 3. Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau tại điểm M , tọa độ điểm A(− 2;− 2), B(0; 4) và C(7;3) .       a) Tìm tọa độ điểm E để EA+ EB+2 EC =0 và tìm giá trị nhỏ nhất của PA+ PB+2 PC biết P là điểm di động trên trục hoành. b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D . Lời giải Trang 1
3. THI HSG TOÁN ĐỀ a) Ta gọi Exy(; ),    EA=(−2− x;−2− y,EB) =(− x;4− y,EC) =(7−x; 3− y)    −2−xx−+27( −x ) =0 x = 2 nên EA+ EB+2 EC =0⇔⇔. −2−y+4−y+23( −y) =0y = 3 Vậy E(2;3) .     Ta có: PA+ PB+2 PC=4 PE=4 PE .    Nên PA+ PB+2 PC đạt giá trị nhỏ nhất khi P là hình chiếu của E lên trục hoành. Vậy P(20;). M(a;b) b) Gọi và Dcd(; ) Diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC nên 4S∆MBC= S∆MAB 11 ⇔4.MH . BC=MK . DA 22 ⇔4MH. BC=MK . AD 4BCMK ⇔=. ADMH MKAD Mà ABCD là hình thang nên = . MHBC AD4 BC Do đó = . BC AD   Suy ra AD2 =4 BC⇒ AD=2 BC⇒ AD=2 BC .  AD=( c+2;d+ 2)c =12  ⇒ . BC =(7;− 1) d =−4 Vậy D(12;− 4) . Câu 3: (5,0 điểm) Cho phương trình 2x3+mx2+2 xm−=x +1 ( m là tham số). a) Giải phương trình với m =−3 . b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Lời giải Trang 2
4. THI HSG TOÁN ĐỀ x +10≥ ⇔ Ta có phương trình đã cho  32 2 . 2x+mx+2 xm−=( x +1) x ≥−1 x ≥−1 ⇔⇔ (*) . 32 2  2x+(m−1) x−m−10= ( x−12) x+(m+ 1) xm++1=0 x ≥−1 a) Với m =−3 thì (*) ⇔  2 ( x−12)( x−2 x−2) =0 x ≥−1  x =1 x =1 ⇔⇒   1± 5.  1± 5 x = x =  2  2 1± 5 Vậy tập nghiệm của phương trình S = 1; . 2  x ≥−1  b) Ta có (*) ⇔ x =1 .  2 2x+(m+1) xm++1= 0( ) Xét phương trình ( ) :2x2 +(m+ 1) xm++1= 0 2 Có ∆=(m+1) −8(m+1) =(m+1)(m−7) . Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình ( ) có 2 nghiệm phân biệt xx1, 2 khác 1 và −1≤x1 0   m +1 2 x+x=− 2.1+(m+1 ) .1+m+ 1≠ 0  12 2 ⇔  (với  ). x+1+x+1>0 m +1 ( 1) ( 2) xx =   12 2 ( x1+1.) ( x2+ 1) ≥0 (m+1)(m−7) >0  m∈(−∞;1 −) ∪( 7; + ∞) 2m +4≠0   m +1 m ≠−2 ⇔ −+20> ⇔  ⇔m∈(−∞;2 −) ∪(−2; − 1) .  2 m < 3 m+1m+1 20≥ (ld )  −+20≥   22 Vậy m∈(−∞;2 −) ∪(−2; − 1) . Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh BC , CA sao cho BM= a , CN= 2a .   a. Tìm giá trị của tích vô hướng AM⋅ BC theo a . b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN . Tính độ dài PN theo a . Lời giải Trang 3
5. THI HSG TOÁN ĐỀ          a. Ta có AM⋅ BC=( AB+ BM)⋅ BC= AB⋅ BC+ BM⋅ BC 93 =3aa⋅ 3⋅ cos120°+ aa⋅3 ⋅ cos0°=−a2+3a2=−a2. 22        1     b. Ta có AM⋅PN=( AB+BM)( AN−AP) =AB+BC( AN−AP) 3      1  1  11111 =AB⋅ AN− AB⋅ AP+BC ⋅ AN−BC ⋅ AP =3aa⋅⋅−3ax ⋅+⋅3aa ⋅⋅−⋅3ax ⋅− 33 23232 2 55 =2a−ax= a2 a−x . 22   5 4 Theo đề, vì AM⊥ PN nên AM⋅PN=0⇔a2a−x=0⇔x=a . 2 5 Câu 5: Cho hàm số fx( ) = x4−4x2+5+m ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm  số đã cho trên đoạn −2; 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải 42  Xét hàm số gx( ) =x −4x+5+m trên đoạn −2; 5. 2 Ta có gx( ) =( x 2 −2) +m+1. 2 Do −2≤x≤5⇒0≤x2 ≤5 ⇒−2≤x2−23≤⇒0 ≤( x2−2) ≤9 2 2  Suy ra m+1≤( x−2) +m+1≤ 10 +m hay m+1 ≤gx( ) ≤m +10,∀x∈−2; 5  Suy ra gx( )∈[m +1;m+10, ] ∀x∈−2; 5 .  Trường hợp 1: 0≤m+1⇔m≥−1, suy ra max f( x) = m +10 .  −2; 5 m ≥−10  Trường hợp 2: m+10 −m− 1 ⇔m>− , suy ra max f( x) = m +10 khi m∈−;1− .   2 −2; 5 2  11 11 Nếu m+10<−m− 1 ⇔m<− , suy ra max f( x) =− m −1 khi m∈−10; − .    2 −2; 5 2  Trang 4
6. THI HSG TOÁN  Trường hợp 3: m+10< 0⇔m<− 10 , suy ra max f( x) =− m −1. ĐỀ  −2; 5  11 −m−1, m<−  2 Tóm lại hm( ) = max f( x) =  . −2; 5 11  m+10, m≥−  2 Suy ra được đồ thị của hàm số hm( )  Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn −2; 5 đạt giá trị nhỏ nhất khi 11 9 m =− khi đó max f( x) = .  2 −2; 5 2 HẾT Trang 5