Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Thanh Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Thanh Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS THANH SƠN NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: Toán– Lớp 7 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề bài: Câu 1: ( 4 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 3 1 1 a) A = 2 2 .0,75 3 0,5 : 3 2 5 3 2 5.415.99 4.320.89 b) B = 5.210.619 7.229.276 1 1 1 1 c) C = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 100 Câu 2:(4 điểm) a) Một mảnh đất hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3(m); 4(m); 6(m) và đường cao tương ứng là ha (m); hb (m); hc (m). Tính diện tích mảnh đất biết: ha – hb + hc = 25 (m). bz cy cx az ay bx a b c b) BiÕt . Chøng minh r»ng: a b c x y z c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 Câu 3: (4 điểm) a. Tìm x, biết: 5 x + 5 x+ 2 = 650 1 1 21 b. Tìm x, biết: 3 : 4 2x 1 2 3 22 c.Tìm x, y, z biết: 3x = 2y ; 4y = 5z và - x - y + z = - 52 . Câu 4: (6 điểm) Cho ABC có góc A nhọn. Phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A. Chứng minh: a/ DC = BE; DC  BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC. Câu 5: (2,0 điểm) 1) Cho ABC nhọn với = 600. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC p m n 2) Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = . m 1 p Chứng minh rằng : p2 = n + 2. -Hết- Họ và tên : Lớp SBD
2. Câu Đáp án Điểm 1 1 3 1 1 13 3 7 1 13 a) A= 2 2 .0,75 3 0,5 : = . : 3 2 5 3 2 3 4 2 2 30 0,5 1 13 7 15 (4đ) = 0,5 4 2 13 13 61 61 = . 0,5 4 26 8 15 9 20 9 5.4 .9 4.3 .8 5.22.15.32.9 22.320.23.9 B 0,5 b) 5.210.619 7.229.276 5.210.219.319 7.229.33.6 229.318 5.2 32 0,5 229.318 5.3 7 10 9 1 = 0,25 15 7 8 1 1 1 1 C = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 100 1 4 1 9 1 16 1 1000 3 8 15 9999 0,5 = 2 2 2 2 = 2 . 2 . 2 2 2 3 4 100 2 3 4 100 1.3 2.4 3.5 99.101 (1.2.3 99)(3.4.5 101) = . . = 0,5 22 32 42 1002 (2.3.4 100).(2.3.4 100) 1.101 101 = = 0,25 100.2 200 2 1 1 1 0,5 a) Theo bài ra ta có: .3.ha = .4.hb = .6.hc (=SABC) (4đ) 2 2 2 3 S h 2h 3h ABC 2 a b c 0,25 h h h h h h 25  S a b c a b c 25.2 50(m 2 ) ABC 2 1 1 2 1 1 1 0,5 3 2 3 3 2 3 2 bz cy cx az ay bx a(bz cy) b(cx az) c(ay bx) b) = 0,5 a b c a 2 b 2 c 2 abz acy bcx abz acy bcx = 0 a 2 b 2 c 2 0,5 Suy ra: bz cy b c 0 bz cy a y z cx az c a 0 cx az 0,5 b z x ay bx a b 0 ay bx c x y
3. a b c Từ (1), (2) và (3) suy ra: 0,25 x y z c) x( y + 3) – ( y +3) = 3 0,25 (x -1)( y + 3) = 3 0,25 x 1 1 x 1 3 0,25 ; y 3 3 y 3 1 0,25 Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4) 3 a) Ta có: 5 x + 5 x+ 2 = 650 5x(1+52) = 650 0,25 5x.26 = 650 0,25 5x = 25=52 0,25 x = 2 0,25 1 1 21 b) 3 : 4 2x 1 2 3 22 1 7 21 0,25 4 ― 3|2 + 1| = 2:22 1 11 0,25 3|2 + 1| = 4 ― 3 1 1 |2 + 1| = 0,25 3 3 0,25 |2 + 1| = 1 0,25 Suy ra 2x+1=-1 hoặc 2x+1 =1 x = -1 hoặc x = 0 0,25 Vậy x = -1 và x = 0 0,25 c) Từ 3x = 2y => 15x = 10y => 10 = 15; 0,5 0,5 từ 4y = 5z => 12y = 15z => 15 = 12 ― ― + ―52 0,25 => = = = = = 4 10 15 12 ―10 ― 15 + 12 ―13 0,25 => x = 40; y = 60; z = 48. 4 Hình vẽ E (6đ) D A M B K C P
4. a) Chứng minh ABE = ADC (c.g.c) 0,75 DC = BE 0,5 => = mà BA  DA => DC  BE 0,75 b) Gọi M là giao điểm của BE và DC Áp dụng định lí Pyta go vào các tam giác vuông MCE, MBD, MDE và BMC ta được : CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2; BC2 = MB2 + MC2 1 BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; 0,5 BD2 + CE2 = BC2 + DE2 0,5 c) Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE = 푃(góc có cạnh tương ứng vuông góc) AE = AC(gt) 1 => ADE = CPA (c.g.c) CP = AD CP = AB 푃 = 퐾 => 푃// => = 푃 퐾(soletrong) ù푛 ằ푛 0,5 CPK = BAK (g.c.g) BK = KC đpcm 0,5 5 Hình vẽ A (2đ) 1) 600 H B C Kẻ BH  AC Vì 0 0 (1) 0,25 = 60 => = 30 => = 2 Áp dụng định lý Pitago ta có: 0,25 AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 2 2 2 2 2 BC = AB – AH + AC – 2AC.AH + AH 0,25 BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2) BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC 0,25 2) p = m n => p2 = (m – 1)(m+n) (*) 0,25 m 1 p Vì p là số nguyên tố nên p2 ⋮ 1; p2 ⋮ p và p2 ⋮ p2 0,25 Với m – 1 =1 và m+n=p2=> m = 2 thay vào (*) suy ra p2 = n+2 Với m – 1 = p và m+n=p => n=-1(vô lí vì n là số tự nhiên) Với m-1=p2 và m+n=1 suy ra n=-p2 (vô lí vì n là số tự nhiên) 0,25 Vậy p2 = n+2 0,25