Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Trực Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Trực Ninh (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN LỚP 7 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1(4 điểm). 7.1410 .2 1024.21.7 10 a) Tính giá trị biểu thức: A 10.28 .7 9 .98 28 5 .7 6 1 1 1 1 1 b) Tính: B 1 . 1 . 1 1 . 1 4 9 16 100 121 c) Tìm x biết: x 1 x 2 x 3 x 100 605x Câu 2 (4 điểm). 2x 1 3 y 2 a) Tìm x, y biết : và x y 2 5 3 b) Cho a, b , c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y , zkhác không xy yz zx xyz2 2 2 thỏa mãn: ay bx bz cy cx az a2 b 2 c 2 Câu 3 (2 điểm) 102021 539 a) Chứng minh rằng có giá trị là một số tự nhiên. 9 b) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm Ax 12 xxxxx 9 8 7 6 3 1 Câu 4 (8,0 điểm) Cho ABC vuông tại A có B 2C. Kẻ AH BC(H BC) . Trên tia HC lấy D sao cho HD HB . Từ C kẻ đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng AD (E AD) . a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao? b) Chứng minh DH DEHE; // AC c) So sánh HE2 và (BC2 AD 2 ) : 4 d) Gọi K giao AH và CE , lấy điểm I bất kì thuộc đoạn thẳng HE 3 I khác H ; I khác E . Chứng minh AC IA IK IC 2 Câu 5 (2 điểm) Tìm x nguyên biết : x 1 x 2 x 3 x 90 2025 ___Hết___
2. HÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu Ý Hướng dẫn Điểm Câu 1 7.1410 .2 1024.21.7 10 7.(2.7) 10 .2 2 10 .3.7.7 10 (4 8 9 5 6 8 9 2 2 5 6 0,5 điểm) 10.2 .7 .98 28 .7 5.2.2 .7 .2.7 (2 .7) .7 7.210 .7 10 .2 2 10 .3.7.7 10 2 11 .7 11 2 10 .3.7 11 a 0,5 5.2.28 .7 9 .2.7 2 (2 2 .7) 5 .7 6 5.2 10 .7 11 2 10 .7 11 10 11 2 .7 (2 3) 5 0,25 2.710 11 ( 5 1) 4 1 1 1 1 1 3 8 15 99 120 1 . 1 . 1 1 . 1 . . . 4 9 16 100 121 4 9 16 100 121 0,5 Nhận xét: Tích trên có chẵn các thừa số âm b 3.8.15 99.120 1.3.2.4.3.5 9.11.10.12 0,5 4.9.16 100.121 2.2.3.3.4.4 10.10.11.11 1.2.3 9.10 3.4.5 11.12 1 12 6 0,5 2.3.4 10.11 2.3.4 10.11 11 2 11 x 1 0;  x x 2 0;  x Vì x 100 0; x  0,25 x 1 x 2 x 3 x 100  0;x Mà x 1 x 2 x 3 x 100 605x 605x 0 c x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 Khi đó 0,25 x 100 x 100 Ta có xxx 1 2 3 x 100 605 x 0,25 (1 100).100 100x 605x 0,25 2
3. (1 100).100 100x 605x 2 505x=5050 0,25 x=10 KL: Câu 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có (4 2x 1 3 y 2 6x 3 6 y 4 6 x 3 6 y 4 6( xy ) 7 0,5 điểm) = 5 3 15 6 15 6 21 6.2 7 5 (vì x + y = 2) 0,25 21 21 2x 1 5 23 x a 5 21 42x 21 25 42 x 46 21 0,5 3y 2 5 63 y 42 15 63 y 57 57 y 3 21 63 23 x 21 Vậy 0,25 57 y 63 xy yz zx Từ ay bx bz cy cx az xyz yzx zxy 0,25 ayz bxz bzx cyx cxy azy (vì x, y, z là các số khác 0) ayz bxz bzx cyx bzx cyx cxy azy 0,25 ayz bxz cxy azy b ayz cyx az c x bzx azy bx ay (vì x, y, z là các số khác 0) 0,25 bxz cxy bz cy x z a c yx xyz 0,25 ba abc z y c b
4. x ak x y z Đặt k( k 0) y bk thay vào đề bài ta có 0,25 a b c z ck ak. bk ()()() ak2 bk 2 ck 2 abk bak a2 b 2 c 2 0,5 kka2( 2 b 2 c 2 ) k 2 2 a2 b 2 c 2 1 kkk 22 (1 2 k ) 0 k vì k 0 0,5 2 1 x a 2 1 y b 0,25đ 2 1 z c 2 102021 539 Chứng minh rằng có giá trị là một số tự nhiên. 9 0,25 102021 539 100 00000 539 100 00539 Ta có a 9 9 9 Trong đó số 100 00539 là số có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên số đó chia hết cho 9. 102021 539 0,5 Vậy có giá trị là một số tự nhiên 9 Ax 12 xxxxx 9 8 7 6 3 1 Câu 3 0.25 Ta có x12; x8; x6 0 với mọi x (*) (2 điểm) xx12 9 xx 12 9 0  8 7 8 7 +) Nếu x 1 khi đó xx  xx 0  suy ra 6 3 6 3 0,25 xx  xx 0  b Ax 12 xxxxx 9 8 7 6 3 1 1>0 +) Nếu x 0 khi đó –x9; -x7; -x3 0 kết hợp với (*) ta có 0,25 Ax 12 xxxxx 9 8 7 6 3 1 1>0 +) Nếu 0 0, 1-x3 > 0 kết hợp với (*) suy ra Ax 12 xxxxx 9 8 7 6 3 1>0
5. Vậy đa thức đã cho không có nghiệm với mọi x 0,25 Câu 4 (8,0 điểm) Hình vẽ: K B H I E D A M C x Câu a) ABD là tam giác gì? Vì sao? (1,5 điểm) Chứng minh ABD có đường vuông góc AH đồng thời là đường trung 0,75 tuyến ứng với cạnh BD suy ra ABD cân tại A 0 0 Tính được góc B 60 suy ra ABD cân có một góc bằng 60 là tam 0,75 giác đều. Câu b) Chứng minh DH DE , HE// AC (2,5 điểm) Tính được C 300 (1) 0,25 Tính được CAD 300 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra ADC cân tại D 0,25 1,5 Suy ra DA DC 0,25 Chứng minh được AHD CED (cạnh huyền - góc nhọn) 0,25 Suy ra DH DE 0,25 Tính được ADC 1200 0,25 Ta có ADC HDE (đối đỉnh) 0 Suy ra HDE 120 Tính được DHE 300 (3) 0,25 1,0 Từ (1), (3) suy ra ACD DHE 0,25
6. Ta có ACD DHE ( cmt )   HE// AC 0,25 mµ hai gãc nµy ë vÞ trÝ so le trong (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) Câu c) (2,0 điểm) So sánh HE 2 và (BC2 AD 2 ) : 4 Chứng minh AHE cân tại H (tam giác có 2 góc bằng 300 0,5 Suy ra HA HE (4) Trong góc AHC kẻ tia Hx cắt AC tại M sao cho AHM 600 Chứng minh được HMC cân tại M 0,25 Suy ra MH MC (5) Chứng minh được AHM đều 0,25 Suy ra AH HM MA (6) 2 AC2 AC Từ (4), (5) và (6) suy ra HE HE 0,25 2 2 BC2 AD 2 AB 2 AC 2 AD 2 Ta có lại có (vì BC2 AB 2 AC 2 ) 4 4 0,5 2 2 AC AC 2 2 (Vì AB AD ) 4 2 BC2 AD 2 Suy ra HE 2 0,25 4 3 Câu d) (2 điểm) Chứng minh AC IA IK IC 2 Chứng minh KAC đều (tam giác có 2 góc bằng 600 ) 0,5 Suy ra AK KC AC Xét IKA có IK IA AK (bất đẳng thức ) Xét IKC có IK IC KC (bất đẳng thức )  0,5 Xét ICA có IC IA AC (bất đẳng thức ) Suy ra IK IA IK IC IC IA AK KC AC 0,5
7. => 2.IA 2. IK 2. IC 3. AC (vì AC AK KC ) => 2.(IA IK IC ) 3. AC 3 3 0,5 => IA IK IC AC . Vậy .AC IA IK IC (ĐPCM) 2 2 Câu 5. Tìm x nguyên sao cho: x 1 x 2 x 3 x 90 2025 Câu 5 x 1 x 1 ;  x  (2,0 x 2 x 2 ; x điểm)  x 45 x 45 ;  x 0,25 x 46 46 x ; x  x 47 47 x ;  x x 90 90 x ; x   xxx1 2 3 x 90 0,25đ xx 1 2 x 45 46 xx 47 90 xx ;  (1 45).45 (46 90).45 xxx1 2 3 x 2020 2 2 0,5đ xxx1 2 3 x 90 2025 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1 x 1  x 1 0  x 2 x 2 x 2 0 x 45 x 45 x 45 0 45 x 46 x 46 46 x x 46 0  x 47 0 x 47 47 x 0,5 x 90 0 x 90 90 x   Mà x là số nguyên suy ra x 45;;46 0,5đ Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.