Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Lai Vung (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Lai Vung (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN LAI VUNG NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 02 trang) Ngày thi: 31/05/2015 Câu 1. (3,0 điểm) 2x2 5 x 2 Cho phân thức sau: A = 2x3 9 x 2 12 x 4 1. Tìm tập xác định của biểu thức A. 2. Rút gọn biểu thức A. 3. Tính giá trị của A biết 2x 1 3. Câu 2.(4,5 điểm) a b c 1. Cho a3 + b3 + c3= 3abc. Tính giá trị biểu thức A = (1 )(1 )(1 ) . b c a 2. Cho B = 5n 2 26.5 n 8 2 n 1 với n N . Chứng minh B chia hết cho 59 với mọi n. 3. Cho hai số dương x, y thoả mãn x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 thức C ( x2 )( y 2 ) . y2 x 2 Câu 3. (4,5 điểm) 1. Giải phương trình sau: x5 x 4 x 3 x 2 x 2. 1 1 1 1 1 2. Chứng minh rằng: P = . 334 35 3n 3 12 3. Trên quãng đường AB dài 60km, một người đi xe đạp từ A đến B rồi quay trở lại A. Sau khi đi từ B được một giờ, người đó nghỉ lại 20 phút. Để thời gian đi từ B về A không nhiều hơn thời gian đi từ A đến B, người đó phải đi với vận tốc tăng hơn trước 4km/h trên quãng đường còn lại. Hỏi vận tốc lúc đi có thể là bao nhiêu? Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' 1. Tính tổng AA' BB' CC' 2. Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM; IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA) 2 3. Tìm điều kiện của tam giác ABC để biểu thức đạt AA'2 BB' 2 CC' 2 giá trị nhỏ nhất?
2. Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB=AC) và M là trung điểm của cạnh đáy BC. Một điểm D thay đổi trên cạnh AB. Trên cạnh AC lấy một điểm E sao cho MB 2 CE . Chứng minh rằng: BD 1. Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE. 2. DM là phân giác của góc BDE. 3. Khoảng cách từ M đến ED không đổi khi D thay đổi trên AB. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
3. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2014 – 2015 (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) MÔN: TOÁN I. Hướng dẫn chung: 1. Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó. 2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. II. Đáp án và thang điểm: Câu Đáp án Điểm 2x2 5 x 2 A = 2x3 9x 2 12x 4 Ta có: 2x3 + 9x2 + 12x + 4 = (x + 2)2(2x + 1) 0,5 1 Để phân thức A xác định thì: (x + 2)2(2x + 1) 0 0,25 1 x 2 và x 2 0,25 2x2 5 x 2 A = 2x3 9x 2 12x 4 Câu 1 (x 2)(2 x 1) 2 = 2 (x 2) (2 x 1) 0,5 1 1 = với x 2 và x x 2 2 0,5 2x 1 3 x 1 Ta có 2x 1 3 0,5 2x 1 3 x 2 3 x = 1 (nhận) ; x = -2 (loại) 1 Với x=1 thì A = 0,25 3 0,25 3 3 3 a b c 0 a + b + c = 3abc 0,5 a b c Câu 1 2 * Nếu a + b + c = 0 thì A= -1 0,25 * Nếu a = b = c thì A=8 0,25
4. Câu Đáp án Điểm B = 5n 2 26.5 n 8 2 n 1 B 25.5n 26.5 n 8.64 n 0,25 n n n 0,25 2 B 59.5 8.64 8.5 B 59.5n 8(64 n 5 n ) 0,25 Do (64n 5 n ) (64 5) . Vậy B chia hết cho 59 0,25 4 4 2 2 21 2 1 x y 2 x y 1 C = x 2 y 2 = 0,25 y x 2 2 x y 2 1 = xy 0,25 xy Ta có: 1 1 1 1 xy 2 xy . 2. (1) 0,25 16xy 16 xy 4 2 x y 1 1 1 xy xy 4 2 2 4 xy 1 4 1 15 15 (2) 0,25 3 16xy 16 4 16 xy 16 Từ (1) và (2) 1 1 15 1 15 17 xy xy xy16 xy 16 xy 2 4 4 0,25 2 2 1 17 289 Do đó: C = xy 0,25 xy 4 16 1 1 xy xy 1 Dấu “=” xảy ra 16xy 4 x y 0,25 2 x y x y (Vì x, y > 0) 289 1 Vậy min C = tại x = y = 16 2 0,25 5 4 3 2 x x x x x 2 5 4 4 3 3 2 2 Câu x2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 0 0,25 1 3 x4( x 2) x 3 ( x 2) x 2 ( x 2) x ( x 2) ( x 2) 0 4 3 2 (x 2)( x x x x 1) 0 0,25
5. Câu Đáp án Điểm x x x 2 (x 2) ( x2 ) 2 ( 1) 2 0 2 2 2 x x x2 Vì( x2 ) 2 0;( 1) 2 0; 0 2 2 2 và chúng không đồng thời bằng 0 nên x x x2 (x 2 )( 2 )1 2 0 0,25 2 2 2 Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 2. 0,25 1 1 1 1 1 Chứng minh P = 334 35 3n 3 12 1 1 1 Ta có: 3 3 0,25 n n n n(n 1)( n 1) 1 1 (n 1) ( n 1) . n3 2 n(n 1)( n 1) 0,25 1 1 1 1 2 3 0,25 n 2 (n 1) n n ( n 1) 1 1 1 1 1 1 P 0,25 2 2.3 3.4 3.4 (n 1) n n ( n 1) 1 1 1 0,25 P 2 6n ( n 1) 1 1 1 1 Do n>5 nên . Vậy P 0) 0,25 1 60 x 60 Theo đề bài ta có: 1 0,5 3 x 4 x x2 16 x 720 0 0,25 3 (x 36)( x 20) 0 0,25 Vì x 36 0 nên x 20 0 0,25 x 20 0,25 Vậy vận tốc lúc đi có thể lớn hơn 0 và bé hơn bằng 20 0,25 Ta có: A 1 C’ .HA'.BC B’ x S HA' H 0,25 Câu HBC 2 N 1 M 4 SABC 1 AA' I .AA'.BC A’ C B 2 D
6. Câu Đáp án Điểm Tương tự: SHAB HC' ; 0,25 SABC CC' S HB' HAC 0,25 SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC Do đó: 1 0,25 AA' BB' CC' SABC SABC SABC Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC 0,5 Ta có: ; ; IC AC NB BI MA AI 2 Suy ra: BI AN CM AB AI IC AB IC 0,25 . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI.AN.CM BN.IC.AM 0,25 Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 0,25 - Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 0,25 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 0,25 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 2 2 2 3 Tương tự: 4AA’ (AB+AC) – BC 0,25 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 0,25 - Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 0,25 2 2 2 4 AA' BB' CC' Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC 0,25 AB = AC =BC ABC đều 0,25 * Kết luận đúng A MB 2 CE MB 0,5 Từ giả thiết: CE = E BD MB BD Ta lại có: MB = MC nên I 1 D CE MC H 5 MB BD C B M 0,5 Lại có BCˆ ˆ nên suy ra DBM~ MCE Vì DBM~ MCE nên BMDˆ MECCME ˆ ; ˆ MDB ˆ suy ra 0,5 2 IMEˆ B ˆ Cˆ
7. Câu Đáp án Điểm Xét hai tam giác DEM và DBM có Bˆ IM ˆE BM BD CM ( cùng bằng ) ME DM ME 0,5 Nên DBM~ DME ~ MCE Từ DBM ~ DME suy ra BDˆM MD ˆ E 0,5 Từ DME~ MCE suy ra DEMˆ CEM ˆ ME là phân giác 0,5 của góc DEH Vì M nằm trên phân giác của góc E nên MI = MH, mà MH không đổi nên MI không đổi. 0,5 *Chứng minh MH không đổi: 0,5 3 Ta có MHC~ AMB MH MA MA.MC MH MC AB MB Do M, A, B, C cố định nên MH cố định. HẾT