Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng GD và ĐT Thọ Xuân (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng GD và ĐT Thọ Xuân (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x2 x2 x 1 x 3 Bài 1: Cho biểu thức: K 2 2 . 4 2 x 5x 6 x 3x 2 x x 1 a) Rút gọn K b) Tìm giá trị lớn nhất của K Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1. b) Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1 6. Bài 3: a) Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: (x 2) 4 x4 y3 (1) Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B và D), Gọi M là điểm đối xứng của C qua P a. Chứng minh AM song song với BD b. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB. Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng c. Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí của P 4x2 y2 x2 y2 Bài 5: Cho hai số thực x, y 0,CMR : 3(1) (x2 y2 )2 y2 x2 Hết Bài 1 a, ĐKXĐ: x 1;2;3 x2 x2 x 1 x 3 K . 4 2 x 3 x 2 x 2 x 1 x x 1 2x2 x 1 x 3 2x2 K . K 4 2 4 2 x 1 x 3 x x 1 x x 1 b, Nếu x 0 K 0 2 2 2 2 Nếu x 0 K , vậy K lớn nhất bằng khi x= - 1 1 2 3 3 x2 1 1 x2 x 3 x Bài 2 a) HD:
2. Ta cã: x2 6y2 1 x2 1 6y2 (x 1)(x 1) 6y2 Do 6y2 2 (x 1)(x 1)2 Mµ x - 1 + x + 1 = 2x x - 1 vµ x + 1 cã cïng tÝnh ch½n lÎ. x - 1 vµ x + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp (x 1)(x 1)8 6y2 8 3y2 4 y2 2 y2 y 2 x 5 b) HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*. - Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2  3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố). - Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1). Do p là số nguyên tố và p > 3 p lẻ k lẻ k + 1 chẵn k + 12 (2) Từ (1) và (2) p + 16. Bài 3 Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 HDa: Ta có A = A = 7.52n + 12.6n = A = 7.25n + 12.6n Vì 25 ≡ 6 (mod 19) => 25n ≡ 6n (mod 19) =>7.25n ≡ 7.6n (mod 19) => 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n ≡ 19.6n ≡ 0 (mod 19) . Điều này chứng tỏ A chia hết cho 19. HD b: (1)  8x3 24x2 32x 16 y3 y3 2 y2 y 2z(z Z) x3 3x2 4x 2 z3 Ta chứng minh được: x3 z3 (x 2)2 x z x 2 z x 1 x3 3x2 4x 2 (x 1)3 x3 3x2 3x 1 x 1 z 0 y 0 (x, y) ( 1,0) Bài 4:
3. B C P O M I F E A D K a, Ta có: O là trung điểm của AC (ABCD là hình chữ nhật) P là trung điểm của CM ( Vì M đối xứng với C qua P) Nên Op là đường trung bình của ACM, do đó: OP//AM=> AM//BD 1 b, Vì OP là đường trunh bình của ACM nên OP//AM và OP= AM 2 Do đó: OP//AI và OP=AI=> tứ giác AIPO là hình bình hành=> PI//AC (1) Kẻ ME//AB cắt AC tại K, ta có: K· AE E· AM K· DA Nên AE là phân giác K· AM . Mặt khác: AE  KM AKM cân E là trung điểm của KM, do đó EI là đường trung bình của AMK=> EI//OA=>EI//AC (2) Ta lại có : E, I, F thẳng hàng (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: E, F, P thẳng hàng. B5.HD: 4x2 y2 x2 y2 (1)  1 2 0 (x2 y2 )2 y2 x2 4x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 2x2 y2  0 (x2 y2 )2 x2 y2 (x2 y2 )2 (x2 y2 )2  0 (x2 y2 )2 x2 y2 2 2 2 1 1  (x y ) . 2 2 2 2 2 0 x y (x y ) (x2 y2 )2 x2 y2  (x2 y2 )2. 0 x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 x2 y2  (x2 y2 )2. 0 x2 y2 (x2 y2 )2  x y