Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng Giáo dục và Đào tạo Kim Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng Giáo dục và Đào tạo Kim Sơn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN KIM SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-8 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 + 2011x 2 + 2010x + 2011 b) Tìm các số nguyên x; y sao cho: 3x 3 + xy = 3 . c) Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x +1 dư 7; chia cho x − 2 dư 4. Câu 2: (1,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A= x 2 + y 2 + 5 + 2x − 4y − − (x + y −1) 2 + 2xy với x = 22011; y = 16503 b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: x2 −2 x + 2011 B = với x>0 x2 Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng: 20113 +113 2011+11 a) = 20113 + 20003 2011+ 2000 b) Nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn : 4m 2 + m = 5n 2 + n thì : m-n và 5m+ 5 n + 1 đều là số chính phương. Câu 4: (4 điểm) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh OM=ON. 1 1 2 b) Chứng minh + = . AB CD MN = 2 = 2 c) Biết S AOB a ; SCOD b .Tính S ABCD ? d) Nếu Dˆ AC. HẾT
2. UBND HUYỆN KIM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 8 Câu Đáp án Điểm a/ x 4 + 2011x 2 + 2010x + 2011= x 4 + x3 + x 2 + 2010(x 2 + x +1) − (x3 −1) 0,5 = ( x 2 + x +1)( x 2 − x + 2011) 0,25 b/ 3x 3 + xy = 3 ⇔ x(3x 2 + y) = 3. Do x; y là các số nguyên nên ta có: 0,25 x = 1 x = 1 x = 3 x = 3 TH1:  ⇔  (thỏa mãn) hoặc ⇔  (thỏa mãn) 0,25 3x 2 + y = 3 y = 0 3x2 + y = 1 y = −26 1 x = −1 x = −1  x = − 3  x = − 3 0,5  ⇔  ⇔  TH2: 2 (thỏa mãn) hoặc 2 (thỏa mãn) 3x + y = −3 y = −6  3x+ y = − 1  y = − 28 c/ Vì x3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7 nên ta có: x3 + ax + b = ( x +1).Q(x) + 7 0,25 do đó với x = −1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1). Vì x3 + ax + b chia cho x − 2 dư 4 nên ta có: x3 + ax + b = ( x − 2).P(x) + 4 0,25 do đó với x = 2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2). Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4. 0,25 a/ Ta có: x 2 + y 2 + 5 + 2x − 4y = ( x +1) 2 + ( y − 2) 2 ≥ 0 với mọi x; y nên ta có: 0,25 A= x 2 + y 2 + 5 + 2x − 4y − ( x + y −1) 2 + 2xy = 0,25 x 2 + y 2 + 5 + 2x − 4y − x 2 − y 2 −1− 2xy + 2x + 2y + 2xy = 4x − 2y + 4 = 2(2x − y) + 4 503 Thay x = 22011; y = 16503 = (24 ) = 22012 vào A ta có: A= 2.(2.22011 − 22012 ) + 4 = 4 0,25 x 2 − 2x + 2011 2011x 2 − 2.x.2011+ 20112 0,25 2 b/ B= = x 2 2011x 2 2010x 2 + ( x − 2011) 2 2010 ( (x − 2011) 2 2010 = = + ≥ . 0,25 2011x 2 2011 2011x 2 2011 Dấu “=” xảy ra khi x = 2011. 2010 0,25 Vậy GTNN của B là đạt được khi x = 2011. 2011 3 a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c. 20113 +113 a 3 + b3 ( a + b)(a 2 − ab + b 2 ) Xét vế phải đẳng thức ta có: = = 0,25 20113 + 20003 a 3 + c3 ( a + c)(a 2 − ac + c 2 ) Thay a=b+c vào a 2 − ab + b 2 = ( b + c) 2 − ( b + c)b + b 2 = b 2 + bc + c 2 0,25 2 − + 2 = ( + ) 2 − ( + ) + 2 = 2 + + 2 a ac c b c b c c c b bc c 0,25 2 2 2 2 Nên a − ab + b = a − ac + c . 20113 +113 a 3 + b3 ( a + b)(a 2 − ab + b 2 ) a + b 2011+11 0,25 Vậy: = = = = 20113 + 20003 a 3 + c 3 ( a + c)(a 2 − ac + c 2 ) a + c 2011+ 2000 b/Ta có 4m 2 + m = 5n2 + n ⇔ 5(m 2 − n 2 ) + m − n = m 2 ⇔ ( m − n)( 5m + 5n +1) = m 2 (*) 0,5
3. Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1)⇒ (5m+5n+1)+5m-5n d⇒ 10m+1 d 0,25 2 Mặt khác từ (*) ta có: m  d2⇒ m d. Mà 10m+1 d nên 1 d⇒ d=1 Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, 0,25 thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. hình vẽ 0,25 A B A B M N O 4 D C D H E K C OA OB 0,5 a/ Ta có = Do MN//DC AC BD OM ON ⇒ = ⇒ OM=ON. 0,5 DC DC OM AM OM DM 0,25 b/ Do MN//AB và CD ⇒ = và = . Do đó: CD AD AB AD OM OM AM+ MD + = =1 DC AB AD (1) ON ON 0,25 Tương tự: + = 1 (2) DC AB MN MN 0,25 Từ (1);(2) ⇒ + = 2 DC AB ⇒ 1 + 1 = 2 0,25 DC AB MN c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 0,25 S OB S OA cạnh đáy tương ứng. Do vậy : AOB = và AOD = S AOD OD SCOD OC S S 0,5 OB = OA ⇒ AOB = AOD ⇒ 2 = = 2 2 = Nhưng S AOD S AOB .SCOD a .b nên S AOD ab . OD OC S AOD SCOD S = ab = ( + ) 2 Tương tự BOC .Vậy S ABCD a b 0,25 d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K 0,25 Do Dˆ Dˆ ⇒ AD > AE . Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
4. Vậy AD>BC ⇒ DH>KC⇒ DK > CH. 0,25 Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 0,25 DB2= BK 2 + DK 2 > AH 2 + CH 2 = AC 2 (Do AH2= BK 2 ) ⇒ BD > AC HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa