Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 năm 2019 - Sở GD và ĐT Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 năm 2019 - Sở GD và ĐT Hà Nội (Có đáp án)

1. LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2019 Võ Quốc Bá Cẩn 1. Đề thi Bài 1 (5.0 điểm). a) Giải phương trình: p3 2 x 1 px 1: D 2
   2
   2
   b) Cho S 1 2 3 1 3 4 1 2020 2021 là một tích của 2019 thừa số. Tính S (kết quả để dướiD dạng
   phân số
   tối
   giản).
   
   
   Bài 2 (5.0 điểm). a) Biết a; b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 ab b2 chia hết cho 9; chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3: C b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9n 11 là tích của k .k N; k 2/ số tự nhiên liên tiếp. C 2  Bài 3 (3.0 điểm). 1 1 a) Cho x; y; z là các số thực dương nhỏ hơn 4: Chứng minh rằng trong các số x 4 y ; 1 1 1 1 C y 4 z ; z 4 x luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1: C C b) Với các số thực dương a; b; c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 2abc 1; tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ab bc ca abc: C C C D D C C Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A .AB < AC /: Đường tròn .I/ nội tiếp tam giác ABC; tiếp xúc với các cạnh BC;CA;AB lần lượt tại D;E;F: Gọi S là giao điểm của AI và DE : a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS: b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của BC: Chứng minh rằng ba điểm K;O;S thẳng hàng. c) Gọi M là giao điểm của KI và AC: Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N: Chứng minh rằng AM AN: D Bài 5 (1.0 điểm). Xét bảng ô vuông cỡ 10 10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1: Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần. 1
2. 2 Lời giải đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 thành phố Hà Nội 2019 2. Lời giải và bình luận các bài toán Bài 1 (5.0 điểm). a) Giải phương trình: p3 2 x 1 px 1: D 2
   2
   2
   b) Cho S 1 2 3 1 3 4 1 2020 2021 là một tích của 2019 thừa số. Tính S D(kết quả để
   dưới dạng
   phân
   
   
   số tối giản).
   Lời giải. a) Điều kiện: x 1: Đặt a px 1; b p3 2 x thì ta có a 0; b 1 và  D D  Ä a 2 b 3 1: .1/ C D Ngoài ra, từ giả thiết, ta cũng có a b 1: Thay a 1 b vào .1/; ta được C D D .1 b /2 b 3 1; C D hay b .b 1/.b 2/ 0: C D Suy ra b 2 ; 0; 1 ; hay x 10; 2 ; 1 : Thử lại, ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có tập2 nghiệm f là S g 1; 22 ; 10f : g D f g b) Để ý rằng với mọi n nguyên dương, ta có 2 n2 n 2 .n 1/.n 2/ 1 C C : n.n 1/ D n.n 1/ D n.n 1/ C C C Từ đó suy ra 1 4 2 5 3 6 2019 2022 S
   
   
   
   D 2 3
   3 4
   4 5
   
   
   2020 2021 .1
   2 3
   2019/
   .4 5 6
   2022/
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   D .2 3 4 2020/ .3 4 5 2021/ 2022
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   D 2020 3 337
   : D 1010 Vậy S 337 : D 1010 Bài 2 (5.0 điểm). a) Biết a; b là các số nguyên dương thỏa mãn a 2 ab b 2 chia hết cho 9; chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3: C b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9n 11 là tích của k .k N; k 2/ số tự nhiên liên tiếp. C 2 
3. Lời giải đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 thành phố Hà Nội 2019 3 Lời giải. a) Từ giả thiết, ta suy ra 4.a 2 ab b 2 / .2 a b /2 3b 2 chia hết cho 9: Do 3b 2 chia hết cho 3 nên .2 a b /2 chia hếtC cho 3; Dsuy ra 2 a bCchia hết cho 3: Từ đó, ta có .2 a b /2 chia hết hết cho9: Suy ra 3b 2 chia hết cho 9; do đó b 2 chia hết cho 3; tức b chia hết cho 3: Mà 2 a b chia hết cho 3 nên ta cũng có a chia hết cho 3: Vậy cả hai số a và b đều chia hết cho 3: b) Để ý rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có ít nhất một số chia hết cho 3; mà 9n 11 không chia hết cho 3 nên 9n 11 không thể là tích của k 3 số tự nhiên liên tiếp. Từ đó,C theo yêu cầu của đề bài, ta suy ra C9n 11 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. C n n Đặt 9 11 a.a 1/ với a N thì ta có a.a 1/ 20 (do 9 9), suy ra a 4 : Từ đây,C ta có D C 2 C    a.a 1/ 11 .a 2/2 5.a 3/ > .a 2/2 : .1/ C D C Mặt khác, ta cũng có a.a 1/ 11 < a.a 1/ < .a 1/2 : .2/ C C C Do a.a 1/ 11 9n .3n /2 là số chính phương nên kết hợp với các đánh giá (1) và (2), ta suyC ra a.a 1/D 11D ˚.a 1/2 ; a 2 «: Bằng cách xét các trường hợp cụ thể, ta tìm được a 4 ; 11C: Thử lại, ta2 thấy chỉ có a 4 (tương ứng, n 1) thỏa mãn yêu cầu. Vậy có duy nhất2 f một giág trị n thỏa mãn yêu cầu đềD bài là n 1: D D Bình luận. Ở câu b), sau khi nhận xét được 9n 11 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, ta cũng có thể nhân 4 hai vế để tách bình phương vàC viết thành tích thừa số để hoàn tất lời giải. Bài 3 (3.0 điểm). 1 1 a) Cho x ; y ; z là các số thực dương nhỏ hơn 4 : Chứng minh rằng trong các số x 4 y ; 1 1 1 1 C y 4 z ; z 4 x luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1: C C b) Với các số thực dương a; b; c thay đổi thỏa mãn điều kiện a 2 b 2 c 2 2 ab c 1; tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ab b c c a abC c : C C D D C C Lời giải. a) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x min x ; y ; z : Khi đó, ta có D f g 1 1 1 1 .y 2/2 1 1: x C 4 y  y C 4 y D y .4 y / C  Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b) Trong ba số a; b; c ; tồn tại hai số cùng 1 hoặc cùng 1 : Không mất tính tổng quát, giả  2 Ä 2 sử hai số đó là a và b: Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a 2 b 2 2 ab: Từ đó suy ra 1 c 2 a 2 b 2 2 ab c 2 ab 2 ab c 2 ab .1 c /; Chay  D C C  C D C 1 c 2 ab: .1/  Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 c 2 ab 2p2 ab c ; suy ra  C  1 ab c : .2/ Ä 8
4. 4 Lời giải đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 thành phố Hà Nội 2019 Ta cũng có c .2 a 1/.2 b 1/ 0 nên  4 ab c c 2 ac 2 b c : .3/ C  C Từ các bất đẳng thức .3/; .1/ và .2/; ta có 1 5 2P 2 ab 2 ac 2 b c 2 ab c 2 ab c 2 ab c 1 2 ab c 1 ; D C C Ä C C Ä C Ä C 4 D 4 hay 5 P : Ä 8 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 : Vậy max P 5 : D D D 2 D 8 Bình luận. Có thể chứng minh câu a) bằng cách cộng ba số lại và sử dụng bất đẳng thức phụ 1 1 4 ; x ; y > 0: x C y  x y 8 C Câu b) cũng có thể được giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu. Cụ thể, ta có thể viết lại giả thiết bài toán dưới dạng a b c 2 : a b c C b c a C c ab D C C C Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, ta có a b c a 2 b 2 c 2 a b c C b c a C c ab D a 2 ab c C b 2 ab c C c 2 ab c C C C C.a b c /C2 C C C :  a 2 b 2 c 2 3ab c C C C Từ đó suy ra .a b c /2 2 C C ;  a 2 b 2 c 2 3ab c C C C hay a 2 b 2 c 2 6ab c 2.ab b c c a/: C C C  C C Mà a 2 b 2 c 2 2 ab c 1 nên 1 4 ab c 2.ab b c c a/; hay C C C D C  C C 2P 2 ab c 1: Ä C 1 Mặt khác, dễ chứng minh được ab c 8 (theo cách như .2/ hoặc sử dụng trực tiếp bất đẳng Ä 4 thức AM-GM cho bốn số dương 1 a 2 b 2 c 2 2 ab c 4 p2 a 3 b 3 c 3) nên 2P 5 ; D C C C  Ä 4 hay P 5 : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 : Ä 8 D D D 2 Một cách khác cho câu b) nữa là sử dụng biến đổi 2P 2.ab b c c a/ 2 ab c 2.ab b c c a/ a 2 b 2 c 2 1 .a b c /2 1: D C C D C C C C C D C C Từ giả thiết, ta có .c ab /2 .1 a 2 /.1 b 2 /: Suy ra C D p .1 a 2 / .1 b 2 / 2 .a b /2 c ab .1 a 2 /.1 b 2 / ab C C : D C Ä C 2 D 2
5. Lời giải đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 thành phố Hà Nội 2019 5 Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta cũng có .a b /2 1 a b C C : C Ä 2 Do đó .a b /2 1 2 .a b /2 3 a b c C C C : C C Ä 2 C 2 D 2 9 5 5 Từ đây, ta có 2P 4 1 4 ; hay P 8 : Việc còn lại chỉ là xét điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Ä D Ä Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A .AB < AC /: Đường tròn .I/ nội tiếp tam giác ABC; tiếp xúc với các cạnh BC;CA;AB lần lượt tại D;E;F: Gọi S là giao điểm của AI và DE : a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS: b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của BC: Chứng minh rằng ba điểm K;O;S thẳng hàng. c) Gọi M là giao điểm của KI và AC: Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N: Chứng minh rằng AM AN: D Lời giải. a) Ta có CD CE nên tam giác CED cân tại C; suy ra D 180ı ∠C 180ı ∠C AES 180ı CED 180ı C : .1/ ∠ D ∠ D 2 D 2 Mặt khác, ta cũng có ∠BAC ∠ABC AIB 180ı IAB IBA 180ı C ∠ D ∠ ∠ D 2 180ı ∠C 180ı ∠C 180ı C : .2/ D 2 D 2 Từ (1) và (2), ta suy ra ∠AES ∠AIB: Lại có ∠EAS ∠IAB 45ı nên các tam giác EAS và IAB đồng dạng (g-g).D D D A E F K I M S B H D O C N
6. 6 Lời giải đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 thành phố Hà Nội 2019 b) Do EAS IAB nên ESA IBA IBD; từ đó suy ra 4  4 ∠ D ∠ D ∠ IBD ISD ISE ISD 180ı: ∠ C ∠ D ∠ C ∠ D Do đó, tứ giác ISDB nội tiếp. Suy ra ∠ISB ∠IDB 90ı: Mà ∠SAB 45ı nên tam giác SAB vuông cân tại S; suy ra SK vuông góc vớiD AB:D D .3/ Mặt khác, ta lại có OK là đường trung bình ứng với cạnh AC của tam giác ABC nên OK vuông góc với AB: .4/ Từ .3/ và .4/; ta suy ra ba điểm K; O; S thẳng hàng. c) Xét tam giác AKM có AI là đường phân giác kẻ từ A; ta có AM IM : AK D IK Mặt khác, áp dụng định lý Thales trong tam giác AKM có IF AM; ta cũng có k IM FA : IK D FK AM AF Do đó AK KF ; hay D AM AK : .5/ AF D KF Bây giờ, sử dụng định lý Thales trong tam giác ANS có ID AN; ta có k AN AS : ID D IS Sử dụng định lý Thalese trong tam giác AKS có IF KS; ta cũng có k AS AK : IS D FK Từ đó suy ra AN AF : .6/ ID D KF Từ .5/ và .6/ với chú ý ID AF (chỉ cần để ý tứ giác AF IE là hình vuông), ta suy ra AM AN: Đây chính là kết quảD cần chứng minh. D Bài 5 (1.0 điểm). Xét bảng ô vuông cỡ 10 10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1: Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần. Lời giải. Gọi số nhỏ nhất được điền vào bảng là x: Khi đó với một số nguyên y được điền vào bảng, ta xét bảng ô vuông con n m (n dòng, m cột, 0 n 10; 0 m 10) nối ô vuông  Ä Ä Ä Ä điền x và ô vuông điền y như hình vẽ bên dưới, trong đó a11 x; anm y (các trường hợp a11 ở các góc khác được xét tương tự). D D a11 a12 : :: a1m a2m : : anm
7. Lời giải đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 thành phố Hà Nội 2019 7 Ta có a12 a11 1; a13 a12 1 a11 2; : : : ; a1m a1 m 1 Ä C Ä C Ä C Ä C và a2m a1m 1 a1 m; a3m a2m 1 a1 m 1; : : : ; anm a1 n m 2: Ä C Ä C Ä C Ä C C Ä C C Như vậy, ta có x y x n m 2 x 18: Ä Ä C C Ä C Kết quả trên chứng tỏ y x; x 1; : : : ; x 18 : Suy ra có không quá 19 số khác nhau được điền vào bảng ô vuông đã2 cho. f DoC bảng đã choC có 100g ô vuông nên theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiện không ít hơn  100 ˘ 1 6 lần. Ta có điều phải chứng minh. 19 C D