Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Sở GD và ĐT Đồng Nai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Sở GD và ĐT Đồng Nai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 04/4/2014 Câu 1. (4 điểm) Tìm các số thực x thỏa x4 2x 3 x 2 2x 1 0 Câu 2. (4 điểm) x3 2y 1 Giải hệ phương trình: 3 y 2x 1 Câu 3. (4 điểm) m2 2 n Cho m và n là hai số nguyên dương lẻ thỏa 2 n 2 m 1) Hãy tìm một cặp gồm hai số nguyên dương lẻ m;n thỏa các điều kiện đã cho với m1 và n1 2) Chứng minh m22 n 2 4mn Câu 4. (4 điểm) 1) Tính số các ước dương của số 1000 2) Tính số các ước dương chẵn của số 1000 Câu 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc CAB, ABC, BCA đều là góc nhọn. Gọi (O) là đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng OB và DE, gọi N là giao điểm của hai đường thẳng OC và DE. Chứng minh bốn điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn.
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 ĐỒNG NAI 2013-2014 Câu 1. Chia 2 vế cho x2 ta được: 4 3 2 2 11 x 2x x 2x 1 0 x 2 2 x 1 0 xx 2 11 x 2 x 1 0 xx 2 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 (1) hoặc x 1 2 (2) x x Giải (1) ta được 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 x hoặc x (3) 2 2 Giải (2) vô nghiệm Vậy chỉ có hai giá trị của x ở (3) thỏa bài toán Câu 2 x3 2y 1 x33 y 2x 2y 0 3 y 2x 1 x y x22 y xy 2 0 y x(1) hoặc x22 y xy 2 0 (2) Với y = - x . Khi đó x32 2x10 x1.x x1 0 x1 hoặc x2 x 1 0(3) Khi x = 1 thì y1 15 15 Giải (3) ta được x hoặc x 2 2 1 5 1 5 Với xy 22 1 5 1 5 Với xy 22 2 y 3y2 (2) x 2 0 (vô nghiệm) 24 Hệ đã cho có 3 nghiệm như trên
3. Câu 3 3.1 Với m = 11 và n = 41 thỏa các điều kiện của bài toán Vì khi đó m2 2 123 41 và n2 2 1683 11 3.2 Vì m2 2 n mà nn2 nên m22 n 2 n(1) Tương tự m22 n 2 m (2) Gọi d là ước chung lớn nhất của m và n m22 n d Theo chứng minh trên m2 n 2 2 m m 2 n 2 2 d 2 d d 1(3) ; nếu d lớn hơn 1 thì d = 2 mâu thuẫn với m và n lẻ Từ (1), (2) , (3) suy ra m22 n 2 mn Cuối cùng vì m lẻ nên m 2k 1 (với k) m2 4k(k 1) 1 Tương tự n2 4l(l 1) 1 (với l ) Suy ra m22 n 2 4 . Từ đó có điều phải chứng minh Câu 4. 4.1 Ta có 1000 233 .5 Gọi k là một ước dương của 1000. Suy ra k 2nm .5 với n, m thỏa n3 và m3 Vậy số ước dương của 1000 là 4.4=16 4.2 Gọi k là một ước dương chẵn của 1000. Suy ra k 2nm .5 với n,m thỏa 1 n 3 và m3 Vậy số ước dương chẵn của 1000 là 3.4=12.
4. Câu 5. A E M N D B O C 1 Theo giả thiết AD = AE ADE cân tại A CEM AED 900 BAC 2 1 Mà COM OBC OCB 900 BAC 2 Vậy CEM COM COEM là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết OE AC . từ đó BM CM Tương tự CN BN BCMN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC