Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 VĨNH PHÚC ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (2,0 điểm) x 4 1 2 x 5 A : 1 Cho biểu thức x4 x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình : x1x2x6x3 45x2 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : x x2y x 1 4 1 Câu 3. (1,0 điểm) Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x 2y 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức H x22 y xy x y 2 Câu 4. (3,0 điểm) Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn AB sao cho 3 0 AC AB; tia Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân 4 CE CA biệt sao cho 3 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn CB CD ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm H (H không trùng với C) a) Chứng minh rằng ADC EBC và ba điểm A, H, E thẳng hàng b) Xác định vị trí của C để HC AD c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x y z 2. Chứng minh rằng x 2y z 2 x 2 y 2 z Câu 6 Trên mặt phẳng cho 5 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm bên trong đường tròn.
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 VĨNH PHÚC NĂM 2015-2016 Câu 1 x0 x0 a) Điều kiện x 4 0 x4 2 x 5 10 x2 2 x 3 x 3 2 Ta có: A:A x4 x 2 2 x b) Để x, A thì 2x là ước của 2. Suy ra 2x nhận các giá trị 1; 2 1 - 1 2 - 2 x 1 9 0 16 A 2 - 2 1 - 1 Câu 2 a) Phương trình tương đương: (x2 7x 6).(x 2 5x 6) 45x 2 Nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình 66 Phương trình đã cho tương đương với x 5 x 7 45 xx 6 Đặt t x 1, ta được t2 81 0 t 9 x 6 Với t = 9 , ta có x 80 x8x602 x4 10 x 6 Với t = - 9 ta có x 100 x2 10x60 x 5 19 x Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x 4 10;x 5 19 b) xxx141 2 y x1x14 2 y Do x, y x,y 0 Nếu x= 0 thì y=0 suy ra (0;0) là nghiệm của phương trình đã cho Nếu x > 0 y 0 x 1 chẵn , đặt x 2k 1,k 0 Khi đó k 1 2k2 2k 1 4 y 1 Do 2k2 2k 1 là số lẻ, suy ra k = 0 nên x= 1; y=1 Suy ra (1;1) là nghiệm của phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm (x;y) là (0;0) và (1;1)
3. Câu 3 Do x, y và 3x + 2y = 1 suy ra x, y trái dấu 1 x 1 x 3x 2y 1 y x t 22 x 1 2t;y 3t 1 Khi đó H t2 3t t 1 Nếu t 0 H t 1 2 2 2, dấu “=” xảy ra khi t = 1 Nếu t <0 H t2 4t 1 1 2 x1 Vậy GTNN của H là – 2 khi t1 y2 Câu 4 E H D C A B I
4. CE CA a) Từ giả thiết, có: CE > CD; 3 ;DCA BCE 900 CB CD Suy ra hai tam giác Adc, EBC đồng dạng , suy ra ADC EBC (1) Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy ra AHC ADC (2) Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra EBC CHE 1800 (3) Từ (1) (2) (3) suy ra AHC CHE 1800 suy ra ba điểm A, H, E thẳng hàng AC b) Ta có : tan ADC 3 ADC 6000 EBC 60 CD Do AD HC ACH ADC 600 Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra AEB HCA 600 Suy ra ABE đều nên C là trung điểm AB c) Do AHB 900 nên H thuộc đường tròn đường kính AB cố định Kéo dài HC cắt đường tròn đường kính AB tai điểm thứ hai I (I khác H) Suy ra AHI 600 nên I cố định Vậy HC luôn đi qua I cố định khi C thay đổi trên đoạn AB Câu 5 Đặt x y 2a;y z 2b;z x 2c a,b,c 0;a b c 2 Bất đẳng thức trở thành a b 4abc Ta có: 2 a b c 2 a b c . Dấu “=” xảy ra khi a+b=c 1 abc ab abc4abc 2 ab 1 ab Dấu “=” xảy ra a b c 2 a b c 2 c1 Vậy x 2y z 2 x 2 y 2 z x y y z 1 x z 1 Dấu “=” xảy ra z x 2 y0 x y z 2 Câu 6.
5. Từ 5 điểm có 4+3+2+1=10 đoạn thẳng tạo thành. Do đó có ít nhất một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Giả sử 5 điểm A, B, C, D, E và hai điểm A, B có độ dài AB nhỏ nhất. Khi đó 3 điểm C, D, E còn lại có hai khả năng sau: TH1: cả ba điểm này nằm cùng phía trong nửa mặt phẳng bờ AB A B C E D Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C, D, E nhìn AB với các góc nhọn khác nhau. Giả sử ACB ADB AEB khi đó đường tròn đi qua 3 điểm A, B, D chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài TH2: có một điểm khác phía hai điểm kac sở hai nửa mặt phẳng bờ AB. Giả sử E khác phía hai điểm C, D E A B C D
6. Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C, D nhìn AB với các góc nhọn khác nhau. Giả sử ACB ADB, khi đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, D chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài Vậy luôn có một đường tròn thỏa mãn điều kiện