Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Thành phố Đà Nẵng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Thành phố Đà Nẵng (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) 1 11 2 Tính A 2 11 18 5 11 Câu 2: (1,5 điểm) x 2 x 1 x 1 x 0 x #1 Cho biểu thức A : với ; x x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 Rút gọn A và chứng minh A . 3 Câu 3: (1,5 điểm) Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 21 m ( m là tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng luôn đi qua 1 điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến lớn nhất. Câu 4: (2 điểm) a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7 x2 2 x y 2 b) Tìm tất cả x,, y z thỏa mãn y 2 y z x y z 1 x 1 0 Câu 5: ( 1 điểm) Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu. Câu 6: (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC 4 , ABC 1500 . Gọi E ; F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD. Tính độ dài đoạn EF. Câu 7: ( 1 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp O . Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D. a) Chứng minh rằng: BC2 AB. CD b) Gọi G là trọng tâm tam giác ; E là giao điểm của CG và BD. Tiếp tuyến tại C của cắ BG tại F. Chứng minh rằng: EAG FAG
2. LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) 1 11 2 Tính A 2 11 18 5 11 1 11 2 11 2 18 5 11 4 11 49 9 11 5 11 A 2 7 Câu 2: (1,5 điểm) x 2 x 1 x 1 Cho biểu thức A : với x 0 ; x #1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 Rút gọn A và chứng minh A . 3 + Rút gọn A Với ; xx 21x x 1 1 x 1 x A : x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 2 x A . x 11 x x x 1 2 x A xx 1 + Chứng minh . 2 22x Xét hiệu A 3 xx 1 3
3. 2 6x 2 x 2 x 2 21 x A 0 với x 0 ; x #1 3 x 1 x 3 x 1 x 2 2 A 0 A 3 3 Câu 3: (1,5 điểm) Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 21 m ( m là tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng luôn đi qua 1 điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến lớn nhất. a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng luôn đi qua 1 điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H. Gọi H(;) x00 y là điểm cố định luôn đi qua với mọi m. H(;) x00 y dm với mọi m Ta có: y0 mx 0 2 m 1 y 0 1 x 0 2 m xx00 2 0 2 . Vậy H( 2; 1) yy00 1 0 1 b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến m 2 2 m 1 3 m 1 h Ad, 32 m mm22 11 m 1 Do ( mm 1 2 2 2 1 2 ) m2 1 Dấu “ = ” xảy ra khi m 1 Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến lớn nhất là 32 khi Câu 4: ( 2 điểm) a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7 x2 2 x y 2 b) Tìm tất cả x,, y z thỏa mãn y 2 y z x y z 1 x 1 0 a) ĐK x 2 22 xx 2 2 2 3 7 xx 2 2 2 3 7
4. xx 2 2 2 3 7 2 xx 2 2 3 7 2x 2 6 5 7(loai ) x 11 ( t/m) b) x2 2 x y (1) 2 y 2 y z (2) ( I) x y z 1 x 1 0(3) Thay (1) và (2) vào (3) ta có: x x22 2 x y 2 y 1 x 1 0 x 1 22 y 1 x 1 x 1 0 Vế trái 0 ; Vế phải = 0 nên dấu bằng xảy ra khi: xx 1 0 1 yy 1 0 1 Suy ra z 1 Vậy (x , y , z ) (1, 1, 1) Câu 5: ( 1 điểm) Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu. Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y với ( x 1; y 4 ) Nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích không đổi nên ta có pt x 1 . y 2 xy (1) Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông nên ta có pt xy 34 xy7 (2) Thế (2) vào (1) ta có: y 8 . y 2 y . y 7 y 16 ; x 9 Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m2 ) Câu 6: ( 1 điểm)
5. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC 4 , ABC 1500 . Gọi E ; F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD. Tính độ dài đoạn EF. Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp vì ( AEC CFA 900 ) Nên: EAC CFE ( Cùng chắn cung EC ) FAC FEC ( Cùng chắn cung FC) DAC BCA ( so le trong) Suy ra: BAC CFE (g.g) BC AC CE.1 AC FE AC.sin300 4. 2 CE FE BC 2 Câu 7: ( 1 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp O . Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D. a) Chứng minh rằng: BC2 AB. CD b) Gọi G là trọng tâm tam giác ; E là giao điểm của CG và BD. Tiếp tuyến tại C của cắ BG tại F. Chứng minh rằng: EAG FAG
6. a) Ta có: BAC CBD ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) ABC BCD ( so le trong) ABC BCD (g.g) AB BC BC2 AB. CD (1) BC CD b) Qua A kẻ tiếp tuyến tại C với O cắt đường thẳng qua B song song với AC tại I, Cắt AF tại j. Nối AE cắt CD tại H. Chứng minh được: BC2 AC. BI (2) Từ (1) và (2) ta có: AB BI AB CD AC BI (3) AC CD AN FN CN Lại có: AC JI JB FB IB Do AN NC JB IB (4) AP EP BP Tương tự: AB FI CH EC CD Do AP BP CD CH (5) Từ (3),(4),(5) ta có: AB BJ AB AC AC CH BJ CH Suy ra: ABJ ACH (c.g.c) AHC BJA JAB HAC EAB FAC .