Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (1,0 điểm). 22 Tìm các số tự nhiên có dạng ab , biết rằng (ab) − ( ba) là số chia hết cho 3267 . Câu 2 (1,0 điểm). Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn pa=33 − b (với ab, là hai số nguyên dương phân biệt). Chứng minh rằng nếu lấy 4 p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được một số là bình phương của một số nguyên lẻ. Câu 3 (1,0 điểm). Cho x=− 4 10 + 2 5 ++ 4 10 + 2 5 . Chứng minh rằng x= 51 + . 2 ( x22− 2x) − 4x ++ 8x 2018 Từ đó tính giá trị biểu thức A= x2 −− 2x 3 Câu 4 (1,0 điểm. 5 7 11 x+− 13 6 x 5 25 Cho biểu thức B=+− : , với x>≠ 0;x ;x ≠ 1. x12x32x− + +− x3 7x7x − 36 Rút gọn biểu thức B và tìm số thực x để biểu thức B nhận giá trị nguyên. Câu 5 (1,0 điểm). 7x Giải phương trình =7x +− 25 5 . 7x+ 16 Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz1++=. Chứng minh bất đẳng thức sau: xy yz zx 3 ++≤. xy+++ z yz x zx y 2 Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ OH vuông góc với đường thẳng AB tại H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. Chứng minh rằng ∆∆MOB# OND . Câu 8 (1,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD và trực tâm H. Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho 0 BMC= 90 . Chứng minh rằng SMBC= S ABC .S HBC . Câu 9 (1,0 điểm). Tính giá trị của biểu thức C= sin22 1 °+ sin 2 °+ sin 2 3 °+ + sin 2 89 °. Câu 10 (1,0 điểm). Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3, ,625 , chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. 4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. II) Đáp án và thang điểm: 22 Câu 1 (1,0 điểm). Tìm các số tự nhiên có dạng ab , biết rằng (ab) − ( ba) là số chia hết cho 3267 . Nội dung trình bày Điểm 22 (ab) −( ba) =(10a +− b )2 (10 b += a )2 99( a 22 − b ) 0,25 22 (ab) − ( ba) chia hết cho 3267= 33.99 nên a22−=− b( a ba )( + b ) chia hết cho 33 0,25 Từ 1≤≤ab 9, 1 ≤≤ 9 và (a−+ ba )( b ) 33suy ra ab= hoặc (ab;) = ( 7;4) hoặc (ab;) = ( 4;7) 0,25 Từ đó ta tìm được các số 11;22;33;44;47;55;66;74;77;88;99 thỏa mãn. 0,25 Câu 2 (1,0 điểm). Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn pa=33 − b (với ab, là hai số nguyên dương phân biệt). Chứng minh rằng nếu lấy 4 p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được một số là bình phương của một số nguyên lẻ. Nội dung trình bày Điểm Ta có p=−=− a33 b( aba )(2 ++ abb 2 ) là số nguyên tố Mà ab, là các số nguyên dương phân biệt nên tích (aba− )(22 ++ abb ) là số nguyên tố 0,25 khi và chỉ khi ab−=1 và a22++ ab b là số nguyên tố. ⇒=+ab1 ⇒=+pb( 1)33 − b = 3 b 2 + 3 b + 1 0,25 ⇒4p = 12 b22 + 12 b + 4 = 3( 4 b + 4 b + 1) +≡ 1 1( mod 3) 0,25 2 Nếu lấy 4 p chia 3 và loại bỏ phần dư ta được số Ab=42 + 4121 b +=( b +) hiển nhiên 0,25 là số chính phương (đpcm). Câu 3(1,0 điểm). Cho x=− 4 10 + 2 5 ++ 4 10 + 2 5 . Chứng minh rằng x= 51 + . 2 ( x22− 2x) − 4x ++ 8x 2018 Từ đó tính giá trị biểu thức A= x2 −− 2x 3 Nội dung trình bày Điểm 2 x=−++++⇒=+−+ 4 1025 4 1025 x22 8 24( 1025) 0,25 HDC_HSG Toán 9 Trang 1/5
3. ⇒=+x2 8 26 − 25 =+ 6 25⇒=x 51 + 0,25 2 ⇒−=x1 5 ⇒( x1 −) =⇒ 5 x2 − 2x4 = 0,25 22 ( x22−−++ 2x) 4x 8x 2018( x 2 −−−+ 2x) 4( x 2 2x) 2018 Khi đó: A= = x2 −− 2x 3 x2 −− 2x 3 ( ) 0,25 42 −+ 4.4 2018 A = = 2018 43− 5 7 11 x+− 13 6 x 5 Câu 4(1,0 điểm). Cho biểu thức B=+− : , x12x32x− + +− x3 7x7x − 25 với x>≠ 0;x ;x ≠ 1. Rút gọn biểu thức B và tìm số thực x để biểu thức B nhận giá trị nguyên. 36 Nội dung trình bày Điểm 25 5( 2 x++ 3) 7( x −− 1) ( 11 x + 13) 6x− 5 Với x>≠ 0;x ;x ≠ 1 (1) thì B:= 0,25 36 ( x12x3−+)( ) 7x( x1−) 6x−− 5 6x 5 7x B:= = 0,25 ( x12x3−+)( ) 7x( x1 −) 2x+ 3 7 21 2x+− 3 7 x ( ) 7 21 B2= = 22= − ( ) 0,25 2x++ 3 2x 3 2 22( x+ 3) 7 Từ (1) và (2) suy ra 0B ( ) 7 7x 7x+− 25 25 0,25 Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với = 7x+ 16 7x ++ 25 5 11 ⇔−7x =0 0,25 7x+ 16 7x ++ 25 5 TH1: 7x0=⇔= x0 (Thỏa mãn) 0,25 11 TH2: −=0 0,25 7x+ 16 7x ++ 25 5 HDC_HSG Toán 9 Trang 2/5
4. ⇔7x += 16 7x ++ 25 5 ⇔−34 = 10 7x + 25 (Loại vì vế trái âm, vế phải dương) Vậy x0= là nghiệm của phương trình đã cho. Lưu ý: HS có thể đánh giá 7x+ 25 +> 5 7x + 16 để suy ra không xảy ra TH2. Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz1++=. Chứng minh bất đẳng thức sau: xy yz zx 3 ++≤ xy+++ z yz x zx y 2 Nội dung trình bày Điểm Vì xyz1++= nên ta có xyzxyzxyz+= +( ++) =( xzyz +)( +) xy xy x y 0,25 Do đó = = . xyz+( xzyz +)( +) xzyz ++ 1 Với các số dương a và b ta luôn có BĐT ab≤+( a b) , áp dụng BĐT này ta được: 2 0,25 xy x y 1 x y =.1 ≤+( ) xyz+ xzyz ++ 2xz + yz + Lưu ý: 1 + Không yêu cầu HS chứng minh BĐT ab≤+( a b) . 2 + Thay vì dẫn ra BĐT cụ thể như trên, HS cũng có thể viết: “áp dụng BĐT AM-GM ta có” hoặc “áp dụng BĐT Cô-si ta có” Chứng minh tương tự, ta cũng có yz 1 y z zx 1  z x 0,25 ≤+(2;) ≤+ (3) yzx+ 2xyxz ++ zxy + 2yz  ++ xy xy yz zx 3 Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ++≤ 0,25 xy+++ z yz x zx y 2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi xyz= = = (Lưu ý: không yêu cầu HS nêu bước này) 3 Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ OH vuông góc với đường thẳng AB tại H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. Chứng minh rằng ∆∆MOB# OND . HDC_HSG Toán 9 Trang 3/5
5. Nội dung trình bày Điểm Ta có MBH= ADN; MHB= AND ⇒ ∆MBH # ∆ADN ⇒=MB.DN BH .AD (1) 0,25 BH OB Ta có: ∆∆OHB# AOD ⇒=⇒DO.OB = BH .AD( 2) 0,25 DO AD MB OB Từ (1) và (2) ta có: MB.DN= DO.OB ⇒= (3) 0,25 DO DN Ta lại có: MBO=−=−= 18000 CBD 180 CDB ODN( 4) 0,25 Từ (3) và (4) suy ra ∆∆MOB# OND (đpcm). Câu 8 (1,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD và trực tâm H. Lấy điểm M trên đoạn 0 AD sao cho BMC= 90 . Chứng minh rằng SMBC= S ABC .S HBC . A M H B C D Nội dung trình bày Điểm 2 2 Ta có SMBC= S ABC .S HBC ⇔( MD.BC) =( AD.BC) .( HD.BC) ⇔= MD AD.HD (1) 0,25 Lại có MD2 = BD.CD (2) (hệ thức lượng trong tam giác MBC vuông tại M, đường cao 0,25 MD). Mặt khác, vì DAB= DCH (cùng phụ với ABC ) và ADB= CDH = 90 °nên 0,25 ∆∆ADB# CDH , do đó AD.HD= BD.CD (3) Từ (2) và (3) suy ra (1) đúng, do đó ta có đpcm. 0,25 HDC_HSG Toán 9 Trang 4/5
6. Câu 9 (1,0 điểm). Tính giá trị của biểu thức C= sin22 1 °+ sin 2 °+ sin 2 3 °+ + sin 2 89 °. Nội dung trình bày Điểm Vì 1° và 89° là các góc phụ nhau nên sin22 89°= cos 1 °. 0,25 Tương tự, ta cũng có sin2 88°= cos 22 2 ° ; sin 87 °= cos 2 3 ° ; ; sin 2 46°= cos 2 44 °. Do đó, C=( sin22 1 °+ sin 89 °+) ( sin 2 2 °+ sin 2 88 °++) ( sin2 44 °+ sin 2 46 °+) sin 2 45 ° 0,25 C=( sin22 1 °+ cos 1 °+) ( sin 2 2 °+ cos 2 2 °++) ( sin 2 44 °+ cos 2 44 °+) sin 2 45 ° 0,25 2 2 1 89 C=++ 1  1  ++ 1 = 44 + = 0,25 44 2 22 Câu 10 (1,0 điểm). Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3, ,625 , chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương. Nội dung trình bày Điểm Ta phân chia 625 số tự nhiên đã cho thành 311 nhóm như sau: + nhóm thứ nhất gồm năm số chính phương: {49;225;400;576;625} 0,25 + 310 nhóm còn lại mỗi nhóm gồm hai số có tổng bằng 625 (không chứa các số của nhóm thứ nhất): {1;624} ,{ 2;623} ,{ 3;622} , 0,25 Nếu trong 311 số được chọn không có số nào thuộc nhóm thứ nhất thì 311 số này thuộc 0,25 310 nhóm còn lại. Theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số thuộc cùng một nhóm. Hai số này có tổng bằng 625 (không thỏa mãn). 0,25 Vậy chắc chắn trong 311 số được chọn phải có ít nhất một số thuộc nhóm thứ nhất, theo cách chia nhóm như trên thì số này là số chính phương (đpcm). Hết . HDC_HSG Toán 9 Trang 5/5