Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Yên Bái

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Yên Bái

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH YÊN BÁI LỚP 9 THCS NĂM 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 08/3/2019 Câu 1: (4,0 điểm) 1) Cho phương trình bậc hai: x2 2 mx 2 m 1 0 (với m là tham số). Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm xx12; với mọi m thuộc ¡ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 22 thức A x12 x . x2 xy y 3 2) Giải hệ phương trình: 2 y xy x 3 Câu 2: (5,0 điểm) 1) Chứng minh rằng P a53 54 a a chia hết cho 30 với mọi số tự nhiên a 2 . 2) Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, mỗi số có hai chữ số, biết rằng nếu viết số lớn trước số bé ta được một số tự nhiên có bốn chữ số là bình phương của một số tự nhiên khác. Câu 3: (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính AB 2 R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó ( E khác A và B ). Đường phân giác của góc AEB· cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K. 1) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA. 2) Gọi I là giao điểm của đường thẳng OE với đường trung trực của đoạn thẳng EF. Chứng minh đường tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với đường tròn O tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F. 3) Gọi MN, lần lượt là giao điểm thứ hai của hai đường thẳng AE, BE với đường tròn I . Chứng minh EN FA EM FB 4) Gọi P là giao điểm của đường thẳng NF và đường thẳng AK , Q là giao điểm của đường thẳng MFvà đường thẳng BK. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn O . Câu 4: (3,0 điểm) Cho x,, y z là ba số thực dương thỏa mãn: xy yz zx 1. Chứng minh: x2 y 2 z 2 1 . x y y z z x 2 Câu 5: (1,0 điểm) Trên mặt bàn có 2019 đồng xu giống hệt nhau, mỗi đồng xu có hai mặt: một mặt màu xanh, một mặt màu đỏ. Ban đầu tất cả các đồng xu đều ngửa mặt màu xanh lên trên. Thực hiện trò chơi như sau: mỗi lượt chơi phải đổi mặt 4 đồng xu nào đó trên mặt bàn. Hỏi sau 83 lượt chơi có thể nhận được tất cả 2019 đồng xu trên mặt bàn đều ngửa mặt đỏ lên trên được không ? Giải thích tại sao ? ___Hết___ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi thứ nhất: Chữ kí: Cán bộ coi thi thứ hai: Chữ kí: