Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Thanh Oai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Thanh Oai (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/11/2020 Đề số 9 Câu 1. (5 điểm) xxx −+3323( x − ) 1) Cho biểu thức A =−+ xxxx−−+−2313 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A . 2) Chứng minh rằng: A =+++++ 222 222 (2020 chữ số 2). Câu 2. (5 điểm) 1) Giải phương trình sau: xxxx−−−=−−24253 2 . 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức xxxx432++++223 là một số chính phương. Câu 3. (4 điểm) 1) Cho P( x) = x4 + axbxc32−+x + d , trong đó abcd,,, là hằng số. PPP(08437.2) +−+−( ) ( ) Biết P(−=26) , P(−=412) , P(−=618) . Tính A = . 2020 2) Với các số dương a , b thỏa mãn abab33++ 68. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 13 Pab=++ abab22+ Câu 4. (5 điểm) 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có D , E , F theo thứ tự là trung điểm của BC , AC , AB . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . a) Chứng minh tam giác HAB và tam giác ODE đồng dạng. b) Kẻ các đường thẳng DM// OA, EN// OB, FGOC// ( M AH , N BH , G CH ). Chứng minh các đường thẳng DM , EN , FG đồng quy. 2) Từ điểm M nằm trong tam giác ABC cho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc MA , MB MC đến BC , CA , AB . Tìm vị trí của M để tích MA MB MC đạt giá trị lớn nhất. Câu 5. (1 điểm) Cho dãy gồm 1000 số: 7; 77; 777; 7777;  ; 777 7. Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013. HẾT
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 PHÒNG GD & ĐT THANH OAI Năm học 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (5 điểm) xxx −+3323( x − ) 1) Cho biểu thức A =−+ xxxx−−+−2313 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A . 2) Chứng minh rằng: A =+++++ 222 222 (2020 chữ số 2). Lời giải 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức . ĐKXĐ: x 0 ; x 9. xxx −+3323( x − ) A =−− ( xx+−13)( ) xx+−13 xx− 3 2( x− 3)( x − 3) ( x + 3)( x + 1) = − − ( x+1)( x − 3) ( x + 1)( x − 3) ( x + 1)( x − 3) xxxxxx−−+−−−−32121843 = ( xx+−13)( ) xxxx −+−3824 ( xx−+38)( ) x + 8 = = = . ( xx+−13)( ) ( xx+−13)( ) x +1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của . x −+19 x −19 9 9 A = =+=x −1 + =+x +−122.3 − = 2 4 Cosi . x +1 xx++11 x +1 x +1 9 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4 xx +1 = ( + 1) = 9 x +1 xx +1 = 3 = 4 (thỏa mãn điều kiện).
3. 2) Chứng minh rằng: A =+++++ 222 222 (2020 chữ số 2). A1 = 22 AA21=+=+ +=222222 AA32=++=+ +=2222222 AAA2020= =2 + 2019 2 + 2 = 2 A =+++++ 222 222 (đpcm). Câu 2. (5 điểm) 1) Giải phương trình sau: x−2 − 4 − x = 2 x2 − 5 x − 3. 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức xxxx432++++223 là một số chính phương. Lời giải 1) Giải phương trình sau: . Điều kiện: 24 x . Phương trình đã cho tương đương với: xx−−33 xxxx−−+−−=−−2114253 2 +=−+ (xx321)( ) xx−++−2114 11 −+−+=( xx3210) ( ) xx−++−2114 x = 3 11 + −(2x + 1) = 0 xx−2 + 1 1 + 4 − 1 1 Với 2x4 thì 1; 1; 215x + x −+21 14+−x 11 nên +−+ (210x ) xx−2 ++− 1 14 Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình. 2) Tìm các số nguyên để biểu thức là một số chính phương. Đặt x4+2 x 3 + 2 x 2 + x + 3 = y 2 (với y là số tự nhiên) 2 Ta có: y2=+++++=++++( x 42 x 3 x 2) ( x 2 x 3) ( x 2 x) ( x 2 x 3) Ta sẽ chứng minh: a22 y ( a + 2)2 với a=+ x2 x
4. 2 22222 111 Thật vậy: yaxxxya−=++=++ 30 24 2 22222 11 (ayxxxya+−=++=++ +2331302) ( ) 24 2 Do a y222 a + ( 2 ) nên ya2 =+( 1) 2 Hay (xxxxxx222++++=++) ( 31) ( ) +xx −2 = 20 x =1 hoặc x =−2 Thử lại: với x =1 hoặc biểu thức đã cho đều bằng 93= 2 , thỏa mãn. Vậy x − 1; 2  . Câu 3. (4 điểm) 1) Cho P( x) = x4 + axbxc32−+x + d , trong đó a , b , c , d là hằng số. PPP(08437.2) +−+−( ) ( ) Biết P(−=26) ; P(−=4 12) ; P(−=6 18) . Tính A = . 2020 2) Với các số dương a , b thỏa mãn a b33 a+ b + 68. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 13 Pab=++ abab22+ Lời giải 1) Cho , trong đó , , , là hằng số. Biết ; ; . Tính . Đặt Q( xP) =+ −=−=−= xxQQQ( ) 32460 ( ) ( ) ( ) −−−2;4;6 là nghiệm của Qx( ) , mà Qx( ) là đa thức bậc 4 nên Qx( ) có dạng: Q( x) =( x +2)( x + 4)( x + 6)( x − m) P( xxxxxmx) =+++−−( 2463)( )( )( ) Tính được Pm(0) =− 48 ; Pm(−8) = 408 + 48 −+++48408mm 48437.6 3030 3 A === . 2022020 2 2) Với các số dương ab, thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của: Ta có: abab3++ 36 +− 8( ab 2)( aabbab 2 −++++ + 2 2 2 4) 0 ab 2 1 3 1 1 1 3 P= + + ab = + + + ab + a2++ b 2 ab a 2 b 2 22 ab ab ab
5. 469 P ++ 2 abab22++22(ab+ )2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab==1. 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = khi . 2 Câu 4. (5 điểm) 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có D , E , F theo thứ tự là trung điểm của BC , AC , AB . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . a) Chứng minh tam giác HAB và tam giác ODE đồng dạng. b) Kẻ các đường thẳng D M O// A , E N O// B , F G O// C ( M A H , N B H , G CH ). Chứng minh các đường thẳng DM , EN , FG đồng quy. 2) Từ điểm M nằm trong tam giác ABC cho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc MA , MB MC đến BC , CA , AB . Tìm vị trí của M để tích M A M B M C đạt giá trị lớn nhất. Lời giải 1) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm có D,, E F theo thứ tự là trung điểm của BCACAB,, . Gọi là trực tâm của tam giác . A M E F H O N G B D C a) Chứng minh tam giác HAB và tam giác ODE đồng dạng. Chứng minh được ED//= AB, OD // AH (cùng vuông góc BC ) BHOE// (cùng vuông góc AC ) =ABH DEO; BAH= EDO (góc có cạnh tương ứng song song) −ABHDEO gg ( ) (đpcm) b) Kẻ các đường thẳng DM// OA,, EN // OB FG // OC (M AH,, N BH G CH ) . Chứng minh các đường thẳng DM,, EN FG đồng quy.
6. 1 Từ câu a) suy ra: O D A// H= 2 Chứng minh được tứ giác A M D O là hình bình hành suy ra O D A== M M H , dẫn đến tứ giác MODH là hình bình hành. Nên DM đi qua trung điểm I của OH . Chứng minh tương tự có E N F, G đi qua I , nên các đường thẳng D M E,, N F G đồng quy (đpcm) 2) Từ điểm M nằm trong tam giác ABC cho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc M A M,, B M C đến B C C,, A A B . Tìm vị trí của M để tích M A M B M C đạt giá trị lớn nhất. A B' C' M B A' C Đặt M A x= , M B y= , M C z = ; B C a= , A C b= , A B c= . 1 SSSSaxbycz=++=++ ( ) ABCBMCAMCBMA 2 ++=axbyczS 2 ABC 3 3 11 ax++ by cz 8S ABC MA MB MC = xyz =( ax) ( by) ( cz) = abc abc 3 27 abc Dấu “=” xảy ra ==axbycz , suy ra diện tích các tam giác B M C , tam giác A M C , tam giác AMB bằng nhau, khi đó M là trọng tâm tam giác ABC . Vậy MAMBMC lớn nhất khi M là trọng tâm của tam giác ABC . Câu 5. (1 điểm) Cho dãy gồm 1000 số: 7; 77; 777; 7777;  ; 777 7. Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013. Lời giải Tách 2013 = 3.11.61 trong đó 3; 11; 61 đôi một nguyên tố cùng nhau. Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 3 và 11, đó là những số có số chữ số là bội của 6. Đó là những số: 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ số), 777 77 (996 chữ số)
7. Số số hạng của dãy trên là (9966:61166−+=) Khi chia 166 số trên cho 61 thì có 166 số dư, mà số dư của các phép chia này chỉ nhận 61 giá trị từ 0 đến 60, nên theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại 2 số trong dãy trên có cùng số dư khi chia cho 61 hiệu của hai số đó chia hết cho 61. Hiệu của hai số có dạng: 7 7 . . . 7 . 1 0n (có k số 7, 6 k 9 9 0 ) Mà (1 0 ,n 6 1 1 ) = suy ra 77 7 chia hết cho 61. Vậy trong 1000 số đã cho tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013.  HẾT 