Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hà Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hà Giang (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1. 2017 a. Cho x 4 7 4 7 . Tính A x432 x x 21 x . b. Cho ab, ,c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. 1 1 1 Chứng minh rằng: A là bình phương của một a b 2 b c 2 c a 2 số hữu tỉ. Câu 2. 2xx 13 a. Giải phương trình: 6 . 2x22 5 x 3 2 x x 3 b. Cho P() x x2 ax b với a, b N . Biết P 1 2017. Tính PP 31 . Câu 3. Tìm các số nguyên dương n sao cho nn43 1 là số chính phương. Câu 4. Cho ab, ,c 0 . Chúng minh rằng: b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2 abc . a b c Câu 5. Cho ABC vuông cân tại A . Gọi D là trung điểm BC . Lấy M bất kỳ trên cạnh AD , MAD , . Gọi NP, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD . a. Chứng mính AH BH . b. Đường thẳng qua B , song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I . Chứng minh ba điểm HNI,, thẳng hàng. HẾT .
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a. Ta có: x 2 827 827 71 712 x 2 . Vậy A 1. b. Ta có: 2 1 1 1 a b b c c a 1 1 1 2 2 2 a b 2 b c 2 c a 2 abbc bcca caab 1 1 1 2 c a a b b c a b 2 b c 2 c a 2 abbc 1 1 1 . a b 2 b c 2 c a 2 Câu 2. 3 a. ĐKXĐ: x 1; x . 2 Xét x 0 không là nghiệm. 2 13 Xét x 0 , phương trình đã cho tương đương với 6 33 2xx 5 2 1 xx . 3 2 13 Đặt 25xt ta được 6 2tt2 7 4 0 2tt 1 4 0 x tt 6 1 t 2 t 4 3 1 31 x Với t 25x 4 . 2 x 2 x 2 3 Với t 4 2x 5 4 2xx2 3 0 vô nghiệm. x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm là S ;2 . 4 b. Vì P 1 2017 2017 1 ab ab 2016.
3. Do đó P 3 P 1 9 3 a b 1 a b 10 2 ab 4042 . Câu 3. Đặt A n43 n 1. Với n 1 thì A 3 không thỏa mãn. Với n 2 ta có 4A 4 n43 4 n 4. 2 2 Xét 4A 2 n22 n 1 3 n 2 n 3 0 4A 2 n2 n 1 . 2 2 Xét 4A 2 n22 n 4 n 0 4A 2 n2 n . 2 Vậy 4A 2 n2 n n 2. Với n 2 thì A 25 thỏa mãn bài toán. Câu 4. Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có bc2 2 ca 2 2 ab 2 2 bccaab 2 a b c a b c bc ca ca ab ab bc 2. abc a b b c c a Dấu bằng xảy ra khi abc . Câu 5.
4. C E D H M P A N B I a. Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia PD tại E. Ta có BE PC BN suy ra BEN vuông cân tại B. Do NBE NHE 900 nên BH, cùng thuộc đường tròn đường khính NE. Suy ra NHB NEB 450 (1) Tương tự hai điểm AH, cùng thuộc đường tròn đường kính PN suy ra AHN APN 450 (2) Từ (1) và (2) suy ra AHB 900 hay AH BH. b. Từ giả thiết suy ra AIB 900 nên I là điểm chính giữa của cung AIB của đường tròn đường kính AB. Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của AHB và là góc nội tiếp chắn cung của đường tròn đường kính AB nên HN phải đi qua I. Do đó ba điểm HNI,, thẳng hàng.