Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2021- 2022 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang) Câu 1: (5 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: (x ― 3).(x ― 5).(x ― 6).(x ― 10) ― 24x2 2. Cho biểu thức: x2 ― 5x 25 ― x2 x + 3 x ― 5 A = ― 1 : ― + x2 ― 25 x2 + 2x ― 15 x + 5 x ― 3 a. Rút gọn A. b. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. c. Tìm Điều kiện của x đề A > 0 Câu 2: (3,5 điểm) 1. Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab + bc + ca = 1 (a + b)2.(b + c)2.(c + a)2 Tính giá trị của biểu thức : A = (1 + a2).(1 + b2).(1 + c2) 2. Tìm số dư khi chia đa thức A = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) +2028 chia cho đa thức x2 +8x + 12 Câu 3: (3,5 điểm) 1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : x2 ―656xy ― 657y2 = 1983 2. Giải phương trình: x ― 241 x ― 220 x ― 195 x ― 166 + + + = 10 17 19 21 23 Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho AE = AF. H là hình chiếu trên DE a. Chứng minh AD2 = DH . DE b. Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng. c. Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích ∆CDh gấp 9 lần diện tích ∆AFH. Câu 5: (2 điểm) 1. Chứng minh rằng A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 + + b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 2abc HẾT ĐÁP ÁN: câ ĐÁP ÁN Điể u m 1 1. (1,5 điểm) (x ― 3).(x ― 5).(x ― 6).(x ― 10) ― 24x2
2. = (x2 ―13x + 30)(x2 ―11x + 30) ― 24x2 0,25 = [(x2 ― 12x + 30) ―x].[(x2 ― 12x + 30) +x] ― 24x2 0,25 =(x2 ― 12x + 30)2 ― 25x2 0,25 = (x2 ― 12x + 30 ― 5x).(x2 ― 12x + 30 + 5x) = (x2 ― 17x + 30).(x2 ― 7x + 30) 0,5 = (x2 ― 2x ― 15x + 30).(x2 ― 7x + 30) = (x ― 2)(x ― 15)(x2 ―7x + 30) 0,25 2. a. (1,5 điểm) ĐKXĐ : x # ± 5;x # 3 0,25 x2 ― 5x 25 ― x2 x + 3 x ― 5 A = ― 1 : ― + x2 ― 25 x2 + 2x ― 15 x + 5 x ― 3 x(x ― 5) 25 ― x2 ― (x + 3)(x ― 3) + (x ― 5)(x + 5) = ― 1 : 0,5 (x ― 5)(x + 5) (x ― 3)(x + 5) x 25 ― x2 ― x2 + 9 + x2 ― 25 = ― 1 : x + 5 (x ― 3)(x + 5) 0,25 5 (3 ― x)(x + 3) = : x + 5 (x + 5)(x ― 3) 5 x + 5 0,25 = . ― x + 5 x + 3 0,25 b. b.(1 điểm) Để A nguyên thì x + 3 Ư( ―5) = { ―5 ; ― 1 ;1 ;5} 0,5 Vậy x { ―8; ― 4; ― 2;2} 0,5 c. A > 0 x + 3 < 0 0,5 x < - 3 0,5 2 1. (1,5 điểm) (a + b)2.(b + c)2.(c + a)2 A = (1 + a2).(1 + b2).(1 + c2) (a + b)2(b + c)2(c + a)2 = 0,5 (ab + bc + ca + a2)(ab + bc + ca + b2)(ab + bc + ac + c2) (a + b)2(b + c)2(c + a)2 A = = 1 1,0 (a + b)(a + c)(b + c)(a + b)(a + c)(b + c) 2. A = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2028 A = (x2 + 8x + 7).(x2 + 8x + 15) + 2028 0,25 Đặt t = x2 +8x + 11 0,25 A = (t ― 4)(t + 4) + 2028 A = t2 ― 16 + 2028 A = t2 + 2012 A = (x2 + 8x + 11)2 + 2012 0,5 A = [(x2 + 8x + 12) ― 1]2 + 2012 0,25 A = (x2 + 8x + 12) ― 2.(x2 + 8x + 12) + 2013 Vậy số dư trong phép chia đa thức A cho đa thức x2 +8x + 12 dư 2013 0,25 3 1. (1,5 điểm) x2 ― 656xy ― 657y2 = 1983 x2 ― 656xy ― y2 ― 656y2 = 1983
3. x2 ― y2 ― 656 xy + y2 = 1983 0,5 (x ― y)(x + y) ― 656y(x + y) = 1983 (x + y)(x ― 657y) = 3.661 = 661.3 = ( ―3).( ―661) = ( ―661).( ― 3)0,25 x + y 3 661 -3 -661 x - 657y 661 3 -661 -3 x 4 660 -4 -660 0,25 y -1 1 1 -1 0,25 Vậy (x; y) = {(4; -1); (-4; 1); (660; 1); (-660; -1)} 2. (2 điểm) x ― 241 x ― 220 x ― 195 x ― 166 + + + = 10 17 19 21 23 x ― 241 x ― 220 x ― 195 x ― 166 0,5 ― 1 + ― 2 + ― 3 + + 4 = 0 17 19 21 23 x ― 258 x ― 258 x ― 258 x ― 258 + + + = 0 17 19 21 23 1 1 1 1 (x ― 258) + + + = 0 17 19 21 23 0,5 x ― 258 = 0 x = 258 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x = 258 0,25 4 A E B F D C a. (2 điểm) Xét ∆ADE vuông tại A và ∆HDA vuông tại H có 0,5 ADE chung Nên ∆ADE đồng dạng ∆HDA (g.g) 0,5 AD DE suy ra = DH AD 0,5 AD2 = DE . DH b. (2 điểm) 0,5 Vì ∆ADE đồng dạng ∆HDA nên AD AE 0,5 = DH AH 0,5
4. DC AF 0,5 = (do AD = DC;AE = AF) DH AH Mà HDC = HAD (cùng phụ góc HAD) Suy ra ∆AHF đồng dạng ∆DHC c. (2 điểm) Ta có ∆CDH đồng dạng ∆AFH nên : 2 S∆CDH CD 0,5 = ( ) S∆AFH AF 2 0,5 S∆CDH CD = 9 ( ) = 9 S∆AFH AF 0,5 CD = 3 AF. Vậy để diện tích ∆CDH gấp 9 lần diện tích ∆AFH thì E, F thuộc AB, AD 0,5 sao cho AE = AF = 1/3 AB. 5 1. Chứng minh rằng A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 A = n8 + n7 + 3n7 + 3n6 + 3n6 + 3n5 + n5 + n4 A = n7(n + 1) + 3n6(n + 1) + 3n6(n + 1) + n4(n + 1) A = (n + 1)n4(n3 + 3n2 + 3n + 1) A = (n(n + 1)2)4 0,5 Vì n.(n + 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên n. ( n + 1) ⁝ 2 Suy ra (n(n + 1)2)4 ⁝ 24 = 16 0,5 2. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 + + b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 2abc Ta có: a2 2 b2 + c2 2 b2 2 ≤ c2 + a2 2 0,5 c2 2 ≤ a2 + b2 2 Cộng từng vế ta có: a2 b2 c2 2 2 2 a3 + b3 + c3 0,25 + + ≤ + + ≤ b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 2 2 2 2abc + 0,25