Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Vòng 2) - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Vòng 2) - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, VÒNG II HUYỆN TỨ KỲ Năm học 2022 - 2023 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1. (2,0 điểm) aa2 1) Rút gọn biểu thức: P1 a2 với 10 a . a 1 a 1 2 2) Cho x;; y z là các số dương thỏa mãn: z2 x 3 y 3 3 xy z . Tính giá trị biểu thức: M 2025 x y 2022 z2022 Câu 2. (2,0 điểm) x2 1) Giải phương trình: x2 15 x 1 2 x3 2) Giải phương trình: 8x2 40 5 x2 Câu 3. (2,0 điểm) 1) Cho hai số nguyên xy, thỏa mãn x22 y 12 xy x y . Chứng minh rằng x và y là hai số chính phương liên tiếp. 6 2) Tìm các cặp số tự nhiên xy; thỏa mãn x y 30 y x. Câu 4. (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. 0 Trên đoạn thẳng AD lấy điểm M sao cho BMC 90 . Gọi S, S12 , S lần lượt là diện tích các tam giác BAC, BMC, BHC. a) Chứng minh rằng: S12 S.S b) Gọi K,P lần lượt là hình chiếu của D trên BE,CF. Chứng minh rằng KP//EF 2) Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm M, N, P . Đặt S,S,S,S1 2 3 lần lượt là diện tích các tam giác ANP, BMP, CMN, ABC. Chứng minh 1 rằng: S .S .S S3 . 1 2 3 64 Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số a,b,c dương, thỏa mãn abc 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c P b3 ab c 3 bc a 3 ca Hết * Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài. Họ và tên thí sinh: SBD:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - VÒNG II Năm học 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 9 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Đáp án Điểm aa2 1) Rút gọn: Pa 1 2 với 10 a . a 1 a 1 2 2 22 a2 a2 a Ta có 1 a 1 a 2 a 22 1 a a 1 aa 11 0,25 aa2 Do đó 11 aa2 a 1 2 a 1 0,25 aa với aa 1 0; 0 1 0 aa 110,25 aa Suy ra P a 11 a aa 11 0,25 1 2 3 3 (2 điểm) 2) Cho x;; y z là các số dương thỏa mãn: z x y 3 xy z . Tính giá trị biểu thức: M 2025 x y 2022 z2022 z2 x 3 y 3 z 2 x 3 y 3 Có z3 3 xyz x 3 y 3 2 3 2 0,25 z 33 xy z z xyz z x3 y 3 z 3 3 xyz 0 1 2 2 2 0,25 x y z x z y z x y 0 2 Vì x;; y z là các số dương nên 2022 x y z 0 x y z x y z 2022 0,25 2022 2022 Suy ra M 2025 x y z 2025 45 0,25 x2 1) Giải phương trình: 2 x 2 15 x 1 ĐK: x1 x22 x x x 22 x 22 15 x 2 x . 15 2 x . xx 11xx 11 0,25 2 2 x x x22 x xx 2 . 15 0 2 15 0 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x 2 Đặt a,PT trở thành a2 2 a 15 0 a 1 16 0,25 (2 điểm) x 1
3. a3 Giải được a5 x2 * Với a 3 3 x2 3x 3 0 x1 0,25 3 21 Giải được x 2 x2 * Với a 5 5 x2 5x 5 0 x1 55 0,25 Giải được x 2 Đối chiếu với điều kiện và kết luận nghiệm x3 2) Giải phương trình: 8x2 40 5 x2 ĐK: 5 x2 0 5 x 5 3 x 2 3 2 2 2 8x 40 x 8 x . 5 x 40. 5 x 0,25 5 x2 x3 8 5 x 2 . x 2 5 0 3 x3 2 5 x 2 x 2 5 x 2 (*) 0,25 xx 00 (*) 2 2 2 0,25 x 4(5 x ) x 4 x2 Giải được x2 0,25 Đối chiếu và kết luận x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. 1) Cho hai số nguyên xy, thỏa mãn x22 y 12 xy x y . Chứng minh rằng x và y là hai số chính phương liên tiếp. Ta có xy2 21 2 xyxy xy 2 2 1 2 xyxy 2 2 0 0,25 x22 y 1 2 xy 2 x 2 y 4 x 22 x y 1 4 x x y 1 22 . x 0,25 Do x,y là các số nguyên nên x là một số chính phương 2 2 2 2 Đặt xa với a là một số tự nhiên, ta có: a y 12 a 2 0,25 a2 y 12 a ya 1 2 Vì và ya 1 nên và là hai số chính phương liên 0,25 3 tiếp. (2 điểm) 6 2) Tìm các cặp số tự nhiên xy; thỏa mãn: x y 30 y x 6 Ta có: x y 30 y x 6 0,25 x y 30 y x 30 y 30 x 30 x y (*)
4. x 0 + Nếu xy 0 y 0 x 0 Thử lại thấy thỏa mãn đề bài 0,25 y 0 5 + Nếu xy 0, từ (*) xy 30 32 25 x y 21 x y x 0 x 1 0,25 hoặc y 1 y 0 Thử lại và kết luận có hai cặp số thỏa mãn là 0;0 , 1;0 0,25 1) Vẽ hình: A M E Q F H P K I B D C 4 a) Chứng minh rằng: S12 S.S (3 điểm) Ta có tam giác BMC vuông tại M, đường cao MD nên MD2 BD.CD 0,25 AD BD Mặt khác ADB CDH(g.g) AD.DH BD.CD 0,25 CD DH 2 2 1 1 1 Do đó MD AD.DH MD.BC AD.BC. DH.BC 0,25 2 2 2 2 Suy ra S1 S.S 2 S 1 S.S 2 0,25 b) Gọi K,P lần lượt là hình chiếu của D trên BE,CF . Chứng minh KP // EF Gọi I, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. AE AH 0,25 Ta có HE//DQ nên EQ HD
5. AF AH HF//DI nên FI HD AE AF Do đó IQ//EF (1) EQ FI BI BD Lại có: DI//EC nên IF DC BD BK DK//EC nên DC KE 0,5 BI BK Do đó IK//EF (2) IF KE Tương tự ta có PQ//EF (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra bốn điểm I, K, P, Q thẳng hàng 0,25 Do đó KP//EF 2) (1 điểm) Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm M, N, P . Đặt S,S,S,S1 2 3 lần lượt là diện tích các tam giác 1 ANP, BMP, CMN, ABC. Chứng minh rằng: S .S .S S3 . 1 2 3 64 A K H P N B C M Kẻ BH AC, PK AC (H,K AC) PK AP Ta có PK//BH nên BH AB 1 PK.AN S AP.AN 0,25 1 2 Lại có 1 SBH.AC AB.AC 2 S BP.BMS CM.CN Tương tự ta có: 2 , 3 S AB.BC S CA.BC S .S .S AP.AN BP.BM CM.CN AP.BP BM.CM CN.AN Suy ra 1 2 3 S3 AB.AC AB.BC CA.BC AB 2 BC 2 AC 2 12 2 1 2 1 Lại có AP.BP . AP BP AP BP AP BP AB2 0,5 4 4 4 AP.BP 1 AN.CN 1 BM.CM 1 Suy ra , tương tự ta có: ; AB2 4 AC22 4 BC 4 S .S .S AP.BP BM.CM CN.AN 1 Do đó 1 2 3 S3 AB 2 BC 2 AC 2 64 0,25 1 3 Suy ra S1 .S 2 .S 3 S 64
6. Cho các số a,b,c dương, thỏa mãn abc 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của a b c biểu thức: P b3 ab c 3 bc a 3 ca Ta có : a a 1 a 1 b2 1 b 1 1 . 1 1 . 32 2 2 0,5 bab b b a babbabb 2 a b 2 a 5 b 1 1 c 1 1 Tương tự : 33 ; . (1 điểm) c bc c2 b a ca a 2 c 111 1 1 131111 Ta có : . 4a 42 a 2 a 2 b 2 c 4 4 a b c a b c 11111113 0,5 Vậy : 3 3 3 b abc bca ca abc 4abc 4 a b c 3 9 3 3 3 3 1. b abc bca ca4abc 2 Ghi chú: HS làm cách khác so với đáp án ở mỗi câu nếu đúng vẫn cho điểm tối đa Hết